No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, usando o metro como unidade de comprimento, se os…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, usando o metro como unidade de comprimento, se os pontos M = (0, 3v3), P = (– w, 0) e Q = (w, 0), w > 0 são os vértices de um triângulo equilátero e pertencem ao gráfico da função real de variável real f(x) = Kx² + 3v3, então é correto afirmar que o valor de K, em metros, é (UECE 2026)
- A) –√3/2.
- B) –√3/3.
- C) –√2/3.
- D) –√2/2.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Resolvo por conta própria. Os pontos P = (-w, 0) e Q = (w, 0) estão sobre o eixo x, então o lado PQ mede 2w. Passo 2: Em um triângulo equilátero de lado L, a altura vale (raiz de 3 / 2) vezes L. Como M = (0, 3 raiz de 3) está no eixo y, a altura do triângulo é a distância de M até o eixo x, ou seja, 3 raiz de 3. Logo, (raiz de 3 / 2) vezes 2w = 3 raiz de 3, o que dá raiz de 3 vezes w = 3 raiz de 3, e portanto w = 3. Passo 3: Verificação: a distância MP = raiz de (w^2 + (3 raiz de 3)^2) = raiz de (9 + 27) = raiz de 36 = 6, que é igual ao lado 2w = 6, confirmando que o triângulo é equilátero. Passo 4: Como P e Q pertencem ao gráfico de f(x) = Kx^2 + 3 raiz de 3, temos f(3) = 0, ou seja, K vezes 9 + 3 raiz de 3 = 0. Assim, K = -3 raiz de 3 / 9 = -raiz de 3 / 3. Passo 5: Comparando com o gabarito, a resposta correta é a alternativa B, e o gabarito oficial está correto. Sobre as demais: a alternativa A (-raiz de 3 / 2) só surgiria se w^2 valesse 6, o que não corresponde ao triângulo dado; a alternativa C (-raiz de 2 / 3) e a alternativa D (-raiz de 2 / 2) envolvem raiz de 2, que não aparece em nenhum passo correto, pois o cálculo da altura e de w usa apenas raiz de 3.
💡 Dica: Use as propriedades do triângulo equilátero e a função dada para montar equações e encontrar K.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente obtém w^2 = 6, por erro na relação entre w, o lado e a altura, e depois substitui em K = -3 raiz de 3 / w^2, chegando a -raiz de 3 / 2.
CORRETA. O valor –√3/3 para K garante que os pontos M, P e Q formem um triângulo equilátero e que P e Q estejam no gráfico da função f(x) = Kx² + 3√3.
O aluno acredita que a altura do triângulo equilátero envolve raiz de 2 em vez de raiz de 3, ou erra a solução de w, o que leva a um valor de K com raiz de 2 no numerador.
O aluno confunde a relação do triângulo equilátero com relações de triângulos retângulos isósceles ou de quadrados (que usam raiz de 2) e aplica essa razão na altura, chegando a -raiz de 2 / 2.
Raio-X da questão
função quadrática e geometria analítica
avaliacao
função quadrática · triângulo equilátero
Estude funções quadráticas e propriedades de triângulos equiláteros no plano cartesiano.
Confundir as coordenadas dos pontos ou não aplicar corretamente a condição de triângulo equilátero para montar as equações.
pensamento_critico
abstrato
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