A equipe técnica de um time de futebol analisou a possibilidade de a final do campeonato ir para a disputa por…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A equipe técnica de um time de futebol analisou a possibilidade de a final do campeonato ir para a disputa por pênaltis. Caso isso ocorra, a equipe precisará escolher 5 jogadores diferentes, dentre os 11 que estarão em campo, e também a ordem entre eles para a cobrança dos 5 primeiros pênaltis. A decisão tomada foi a seguinte: o principal atacante do time começará as cobranças, e o goleiro deverá ser um dos 5 cobradores. Além disso, nenhum dos 3 zagueiros em campo participará dessas primeiras cobranças. A partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta corretamente o número de configurações possíveis para essa escolha. (UFPR 2026)
- A) 280
- B) 340
- C) 480
- D) 625
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique as restrições. Dos 11 jogadores em campo, o principal atacante cobra o 1º pênalti (posição fixa), e os 3 zagueiros não participam. Assim, sobram 11 - 1 - 3 = 7 jogadores disponíveis para as posições 2, 3, 4 e 5, e o goleiro (que é diferente do atacante) precisa estar entre esses 4 cobradores.
- Organize a contagem. Como a ordem importa (cada cobrança tem uma posição), trata-se de arranjos. Usaremos o complemento: conte todas as formas de escolher e ordenar 4 jogadores entre os 7 disponíveis e subtraia as que não incluem o goleiro.
- Calcule o total sem restrição sobre o goleiro. Arranjos de 7 jogadores tomados 4 a 4: 7 x 6 x 5 x 4 = 840.
- Calcule os casos em que o goleiro NÃO cobra. Restam 6 jogadores (excluindo o goleiro) para 4 posições: 6 x 5 x 4 x 3 = 360.
- Subtraia: 840 - 360 = 480. Esse resultado confirma a alternativa C.
- Verifique por outro caminho. O goleiro pode ocupar uma das 4 posições (2ª a 5ª), o que dá 4 possibilidades. Para cada uma, as outras 3 posições são preenchidas por arranjos de 6 jogadores tomados 3 a 3: 6 x 5 x 4 = 120. Logo, 4 x 120 = 480, o mesmo resultado.
- Por que as outras estão erradas. A (280) não corresponde a nenhuma contagem coerente com as restrições e a ordem das cobranças. B (340) não é o complemento correto de 840 nem de 360 para este problema. D (625) seria a contagem se cada uma das 4 cobranças tivesse 5 opções independentes, o que ignora que jogadores não podem repetir e que o goleiro é obrigatório.
- Conclusão: o número de configurações possíveis é 480, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Considere as restrições para escolher os jogadores e calcule as permutações possíveis.
Alternativa por alternativa
Provavelmente o aluno mistura combinação com arranjo ou erra o número de jogadores disponíveis ao contar as posições, chegando a um produto que não respeita a exclusão do atacante, dos zagueiros e a obrigatoriedade do goleiro.
O aluno provavelmente faz a conta complementar com erro, por exemplo subtraindo de forma incorreta o total de arranjos sem o goleiro, ou usa um total de arranjos errado antes de subtrair.
CORRETA. O número 480 é obtido fixando o atacante principal na primeira posição, escolhendo os outros 4 cobradores entre os 7 jogadores restantes (excluindo os 3 zagueiros), incluindo obrigatoriamente o goleiro, e permutando as posições dos 4 restantes.
O aluno aplica o princípio multiplicativo com 5 opções independentes em cada uma das 4 cobranças, o que ignora que jogadores não podem repetir, que os candidatos diminuem a cada posição e que o goleiro precisa obrigatoriamente estar entre os cobradores.
Raio-X da questão
permutação com restrições
diagnostico
permutação simples · combinação simples
Estude permutação e combinação com condições específicas.
O aluno pode esquecer de considerar as restrições sobre os jogadores que não podem participar ou a ordem das cobranças.
pensamento_critico
cotidiano
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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