MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Considere o triângulo retângulo ABC, representado a seguir: Sabe-se que: • BC é perpendicular a AC; • AD é a…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Considere o triângulo retângulo ABC, representado a seguir: Sabe-se que: • BC é perpendicular a AC; • AD é a bissetriz do ângulo CÂB; • ÂBC é igual a 30°; • BD mede 20 cm. A razão AC/DC é igual a: (UERJ 2025)

A) √3
B) √2
C) √3/2
D) √2/2

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

No triângulo retângulo ABC, o ângulo em C é reto e o ângulo em B mede 30°. Logo, o ângulo em A (CÂB) mede 60°. Passo 2: Como AD é bissetriz de CÂB, ele divide 60° em dois ângulos iguais de 30°: CÂD = 30° e DÂB = 30°. Passo 3: Considere o triângulo ACD, que é retângulo em C (pois D está sobre BC, e BC é perpendicular a AC). Nele, o cateto AC é adjacente ao ângulo CÂD = 30°, e o cateto DC é oposto a esse mesmo ângulo. Passo 4: Pela relação trigonométrica da tangente, tg(30°) = DC/AC, ou seja, DC = AC · tg(30°) = AC / √3. Passo 5: Portanto, AC/DC = AC / (AC/√3) = √3. Passo 6: Para conferir a coerência com BD = 20 cm: seja AC = x. No triângulo ABC, tg(30°) = AC/BC, logo BC = x√3. Como BC = DC + BD, temos x√3 = x/√3 + 20, o que dá x = 10√3 cm. Esse valor é consistente com o enunciado, e a razão AC/DC continua sendo √3, independentemente do valor de x. Passo 7: Por que as outras estão erradas: √2 supõe um triângulo de ângulos 45°, o que não corresponde aos ângulos 30°, 60° e 90° dados; √3/2 é o valor de AC/AB (cosseno de 30°), e não da razão pedida, que envolve DC; √2/2 corresponde a cos(45°), valor que não aparece nesta figura, pois o ângulo bissetrizado é de 60°, e não de 90°. Resposta: alternativa A.

💡 Dica: Use propriedades de triângulos retângulos e bissetriz para calcular a razão.

Alternativa por alternativa

A Correta

CORRETA. A razão AC/DC é igual a √3, pois no triângulo retângulo com ângulo de 30°, o lado oposto mede metade da hipotenusa, e a bissetriz divide o lado oposto em segmentos proporcionais, levando à razão √3.

B Erradaerro: Conceitual

O aluno provavelmente supõe que o triângulo ou a configuração envolve ângulos de 45°, como em um triângulo retângulo isósceles, e aplica a relação de 45° em vez da relação de 30° e 60°.

C Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

O aluno calcula AC/AB, que equivale a cos(30°) = √3/2, em vez de usar o segmento DC, que é o cateto da razão pedida. Ele troca o segmento pedido pela hipotenusa do triângulo maior.

Por que engana: Confundir propriedades da bissetriz com medianas ou alturas, levando a cálculo incorreto da razão.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno confunde a bissetriz com um ângulo de 90° dividido ao meio e usa cos ou sen de 45°, aplicando um valor que não corresponde aos ângulos reais do triângulo.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ direta🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

triângulo retângulo, bissetriz, razão

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

triângulo retângulo · bissetriz de ângulo

📚 Reveja

Estude propriedades de triângulos retângulos e bissetriz de ângulo.

⚠️ Erro mais comum

Confundir propriedades da bissetriz com medianas ou alturas, levando a cálculo incorreto da razão.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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🔎 Resolver outra questão

Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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