MatemáticaUERJBNCC EM13MAT304Difícil⏱ longo

Um cilindro circular reto está contido em uma semiesfera de raio AB = 1, como ilustra a imagem. O raio AC da…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT304

Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um cilindro circular reto está contido em uma semiesfera de raio AB = 1, como ilustra a imagem. O raio AC da base desse cilindro mede r e o ângulo agudo BÂC mede ? graus. Calcule a altura e a área lateral do cilindro em função de ?. Em seguida, calcule o valor de ? para que essa área seja máxima. Calcule a altura e a área lateral do cilindro em função de ?. Em seguida, calcule o valor de ? para que essa área seja máxima. (UERJ 2025)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A altura do cilindro é BC. No triângulo retângulo ABC: BC = AB × sen ? ? BC = sen ? O raio da base do cilindro mede r = AB × cos ? ? r = cos ?. A área lateral: A_L = 2 p × BC ? A_L = 2 p × cos ? × sen ?. A_L = p × sen 2? A área máxima ocorre quando ? = 45°.

Explicação

Expressar altura e área lateral em função de ? usando relações trigonométricas, derivar a função da área lateral, igualar a zero para encontrar pontos críticos e analisar o domínio para determinar o máximo.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar|Análise|Avaliar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

geometria espacial, trigonometria, otimização

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

funções trigonométricas básicas · derivadas e cálculo diferencial

📚 Reveja

estude trigonometria no triângulo e derivadas para otimização

⚠️ Erro mais comum

confundir as relações trigonométricas ou esquecer de derivar para encontrar o máximo

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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