MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Um escritório comercial enviou cinco correspondências diferentes, sendo uma para cada cliente. Cada…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um escritório comercial enviou cinco correspondências diferentes, sendo uma para cada cliente. Cada correspondência foi colocada em um envelope, e os envelopes foram etiquetados com os cinco endereços distintos desses clientes. A probabilidade de apenas uma etiqueta estar trocada é: (UERJ 2021)

A) 4/5
B) 1/5
C) 1/24
D) 0

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Entenda o evento. Há 5 envelopes e 5 etiquetas, cada uma com um endereço distinto. Dizer que apenas uma etiqueta está trocada significa que exatamente um envelope recebeu o endereço de outro cliente e que os outros quatro envelopes estão corretamente etiquetados.
Analise a consequência lógica. Se quatro envelopes estão com a etiqueta certa, então cada um desses quatro endereços está ocupado pelo seu cliente correto. Como os cinco endereços são distintos e cada um deve ser usado uma única vez, o quinto endereço não tem outra opção senão ser o do quinto cliente, que é exatamente a etiqueta que estaria 'trocada'. Logo, não é possível haver exatamente uma etiqueta errada.
Conclua a probabilidade. Como o evento é impossível, a probabilidade é 0. Esse é o resultado que a questão espera, e o gabarito oficial D está correto.
Por que as outras alternativas estão erradas. A alternativa A (4/5) confunde a proporção de etiquetas corretas com a probabilidade do evento pedido. A alternativa B (1/5) supõe que a troca de uma etiqueta específica tem probabilidade independente de 1/5, ignorando a restrição de que as trocas formam uma permutação. A alternativa C (1/24) usa 4! como se fosse o número de casos possíveis, quando a condição de exatamente uma troca é impossível para permutações de cinco elementos.

💡 Dica: Considere o conceito de permutação e derangement para calcular a probabilidade.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

O aluno provavelmente interpreta a pergunta como se pedisse a fração de etiquetas corretas, ou acha que 4 de 5 acertos é o cenário típico. Não percebe que a condição de apenas uma errada força a quinta também a estar certa.

Por que engana: O aluno pode pensar que apenas uma etiqueta trocada é possível, ignorando que não existe permutação com exatamente um elemento fora do lugar.

B Erradaerro: Conceitual

O aluno considera que cada etiqueta tem chance 1/5 de ser a trocada e que o resultado é a probabilidade de uma delas. Ignora que, se quatro estão certas, a quinta também precisa estar certa, tornando o evento impossível.

C Erradaerro: Procedimental

O aluno calcula um número de casos favoráveis a partir de permutações (como 4! = 24) e usa isso como probabilidade, sem verificar se a configuração com exatamente uma troca é realmente possível. Confunde contagem de arranjos com a condição do enunciado.

D Correta

CORRETA. Não existe permutação com exatamente uma etiqueta trocada, pois trocar apenas uma etiqueta implica que pelo menos duas estão trocadas; portanto, a probabilidade é zero.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Compreender|Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ direta🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

probabilidade permutação derangement

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

probabilidade básica · permutação simples

📚 Reveja

Estude permutação e o conceito de derangement (nenhum elemento na posição correta).

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode pensar que apenas uma etiqueta trocada é possível, ignorando que não existe permutação com exatamente um elemento fora do lugar.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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