Tem-se que o número a6a5a4a3a2a1 é divisível por 11, se o valor da expressão (a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6)…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Tem-se que o número a6a5a4a3a2a1 é divisível por 11, se o valor da expressão (a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6) também é divisível por 11. Por exemplo, 178409 é divisível por 11 porque: (9 - 0 + 4 - 8 + 7 - 1 = 11) é divisível por 11. Considere a senha de seis dígitos 3894xy, sendo x e y pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se essa senha forma um número divisível por 99, o algarismo y é igual a: (UERJ 2020)
- A) 9
- B) 8
- C) 7
- D) 6
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os algarismos da senha 3894xy. Temos a6=3, a5=8, a4=9, a3=4, a2=x e a1=y. Para que o número seja divisível por 99, ele precisa ser divisível por 9 e por 11, pois 99 = 9 x 11 e esses fatores são primos entre si. Passo 2: Aplique o critério de divisibilidade por 11 dado no enunciado. A expressão a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 fica y - x + 4 - 9 + 8 - 3, que simplifica para y - x. Para ser divisível por 11, y - x deve ser 0, 11 ou -11. Como x e y são algarismos, a diferença está entre -9 e 9, então y - x = 0, ou seja, x = y. Passo 3: Aplique o critério de divisibilidade por 9, que exige que a soma dos algarismos seja múltipla de 9. A soma é 3 + 8 + 9 + 4 + x + y = 24 + x + y. Com x = y, temos 24 + 2x. Testando os valores, 2x deve deixar resto 3 quando dividido por 9, o que ocorre para x = 6, pois 24 + 12 = 36 é múltiplo de 9. Passo 4: Verifique o resultado. Com x = y = 6, o número é 389466, e 99 x 3934 = 389466. Logo, y = 6. Passo 5: Compare com as alternativas. A alternativa A (y = 9) não serve porque 24 + 18 = 42 não é múltiplo de 9. A alternativa B (y = 8) não serve porque x = 8 daria 24 + 16 = 40, que também não é múltiplo de 9. A alternativa C (y = 7) não serve porque x = 7 daria 24 + 14 = 38, que não é múltiplo de 9. Assim, o gabarito D está correto.
💡 Dica: Use a regra de divisibilidade por 11 e 9 para encontrar y.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente considerou apenas um dos critérios, por exemplo a divisibilidade por 11 ou uma soma de algarismos sem respeitar a condição de y - x ser múltiplo de 11, e chegou a y = 9 sem testar se a soma dos algarismos 24 + x + y é múltipla de 9.
Por que engana: Confundir as regras de divisibilidade por 9 e 11 ou aplicar incorretamente a soma alternada dos dígitos.
O aluno provavelmente escolheu y = 8 por tentativa, sem verificar simultaneamente as duas condições (y = x e soma dos algarismos múltipla de 9), ou errou o cálculo da soma 3 + 8 + 9 + 4 + x + y.
O aluno provavelmente cometeu um descuido no cálculo da soma dos algarismos ou no sinal da expressão alternada, por exemplo tratando -4 ou -9 de forma errada, e por isso chegou a y = 7 sem confirmar que 24 + 2x deve ser múltiplo de 9.
CORRETA. O valor y = 6, junto com o valor adequado de x, satisfaz as regras de divisibilidade por 9 e 11, garantindo que o número 3894xy seja divisível por 99.
Raio-X da questão
divisibilidade por 11 e 9
avaliacao
regra divisibilidade 11 · regra divisibilidade 9
Estude as regras de divisibilidade por 9 e 11.
Confundir as regras de divisibilidade por 9 e 11 ou aplicar incorretamente a soma alternada dos dígitos.
tomada_decisao
abstrato
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