Em um largo triangular de uma cidade, há duas estátuas, A e B, erguidas nas pontas de um canteiro. No terceiro…

Questão

Em um largo triangular de uma cidade, há duas estátuas, A e B, erguidas nas pontas de um canteiro. No terceiro vértice, C, convergem duas alamedas que formam um ângulo. A equipe de urbanismo deseja instalar uma fonte em um ponto que seja equipróximo das estátuas A e B e também esteja situado de modo que mantenha ângulo igual em relação às duas alamedas que partem de C. Identifique as construções geométricas cujas interseções determinam o ponto ideal para instalar a fonte conforme as condições descritas.

1. A) intersec¸a~o da mediatriz do segmento AB com a mediatriz do segmento BC
2. B) intersec¸a~o das bissetrizes dos a^ngulos em B e em C
3. C) intersec¸a~o das bissetrizes dos a^ngulos em A e em B
4. D) intersec¸a~o da mediatriz do segmento AC com a bissetriz do a^ngulo em B
5. E) intersec¸a~o da mediatriz do segmento AB com a bissetriz do a^ngulo em C

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Identifique as duas condições do problema. A primeira diz que a fonte deve estar equidistante (o enunciado escreve 'equipróximo', que entendemos como equidistante) das estátuas A e B. O conjunto de pontos que está à mesma distância de dois pontos fixos é a mediatriz do segmento que os une, portanto a condição 1 corresponde à mediatriz do segmento AB.
2. A segunda condição diz que o ponto deve formar ângulos iguais com as duas alamedas que partem de C. Os pontos que dividem um ângulo em duas partes iguais estão sobre a bissetriz desse ângulo, portanto a condição 2 corresponde à bissetriz do ângulo em C.
3. O ponto ideal está na interseção dessas duas construções: a mediatriz do segmento AB com a bissetriz do ângulo em C. Esse é exatamente o conteúdo da alternativa E, que coincide com o gabarito oficial, de modo que não há discordância.
4. Por que as outras estão erradas. A: a mediatriz de BC iguala distâncias a B e C, não a A e B, e a interseção de mediatrizes é o circuncentro, que não trata de ângulos. B: as bissetrizes em B e C tratam de ângulos nos vértices B e C, não de distâncias às estátuas nem do ângulo formado pelas alamedas em C. C: as bissetrizes em A e B não se relacionam com as alamedas que partem de C. D: a mediatriz de AC iguala distâncias a A e C, e a bissetriz em B não corresponde às alamedas.

💡 Dica: Identifique as mediatrizes e bissetrizes que satisfazem as condições do problema.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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