Em um manuscrito de engenheiros do século XVIII, descreve-se o procedimento para posicionar um apoio de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um manuscrito de engenheiros do século XVIII, descreve-se o procedimento para posicionar um apoio de madeira em uma fortificação. O ponto P, formado por uma marca no apoio, tem coordenadas iniciais (2,0) num sistema de referência com origem no pilar principal. Primeiro, rotacionaram o apoio em 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem, obtendo P'. Em seguida, aplicaram homotetia de razão 2 com centro em (1,1), gerando P''. Analise o texto-base e identifique as coordenadas de P'' após a rotação seguida de homotetia descritas.
- A) (3,1)
- B) (-1,3)
- C) (3,-1)
- D) (-2,2)
- E) (1,3)
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a rotação. Na rotação de 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem, o ponto (x,y) vai para (-y,x). Assim, P=(2,0) vai para P'=(0,2).
- Identifique a homotetia. Ela tem razão 2 e centro C=(1,1). A fórmula é P''=C+2·(P'-C).
- Calcule o vetor P'-C = (0,2)-(1,1) = (-1,1). Multiplicando por 2, obtemos (-2,2).
- Some o centro: (1,1)+(-2,2) = (-1,3). Logo P''=(-1,3).
- Compare com o gabarito. A alternativa B coincide com o resultado obtido, então o gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: A (3,1) troca as coordenadas do resultado correto; C (3,-1) é o resultado da homotetia aplicada antes da rotação; D (-2,2) esquece de somar o centro (1,1) após a homotetia; E (1,3) inverte a ordem das operações, aplicando a rotação sobre o resultado da homotetia.
💡 Dica: Realize a rotação e depois aplique a homotetia conforme descrito.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou um resultado correto em outras etapas, mas trocou a posição das coordenadas (x com y) na resposta final, tratando (-1,3) como (3,-1) ou algo semelhante.
P(2,0) rotaciona para P'(0,2). Homotetia centro (1,1), k=2: (1+2*(0-1),1+2*(2-1)) = (-1,3).
O aluno aplicou a homotetia diretamente sobre P=(2,0) e ignorou a rotação, obtendo (3,-1). Não percebeu que a homotetia deve atuar sobre o ponto já rotacionado P'.
Por que engana: Confundir a ordem das transformacoes ou aplicar a rotacao no sentido horario.
O aluno calculou corretamente a diferença P'-C=(-1,1) e multiplicou por 2, mas esqueceu de somar novamente o centro (1,1) ao resultado, uma vez que a homotetia de centro C desloca o ponto a partir de C.
O aluno inverteu a ordem das transformações: aplicou primeiro a homotetia, obtendo (3,-1), e depois a rotação, chegando a (1,3). O enunciado pede a rotação primeiro.
Raio-X da questão
transformacoes geometricas coordenadas
avaliacao
rotacao de pontos no plano · homotetia com centro e razao
Estude rotacao de pontos e homotetia no plano cartesiano.
Confundir a ordem das transformacoes ou aplicar a rotacao no sentido horario.
pensamento_critico
historico
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