Narrativa em primeira pessoa: No ano passado, organizei um jogo com 45 participantes na escola. Cada vez que…

Questão

Narrativa em primeira pessoa: No ano passado, organizei um jogo com 45 participantes na escola. Cada vez que dois grupos se formavam, eu anotava quantos ficavam em um grupo e quantos no outro, sem diferenciar a ordem entre os grupos. Passei a listar todas as maneiras de decompor o total de 45 participantes em duas parcelas positivas. Analise o texto-base e determine quantas decomposições distintas do número 45 em soma de dois números inteiros positivos, sem considerar a ordem, existem?

1. A) 45
2. B) 22
3. C) 21
4. D) 23
5. E) 44

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Para decompor 45 em duas parcelas inteiras positivas, escolhemos a primeira parcela a e a segunda b, com a + b = 45, a ≥ 1 e b ≥ 1. Como a e b precisam ser positivos, a pode variar de 1 até 44 (se a = 0 ou a = 45, uma parcela seria zero, o que não é permitido). Isso dá 44 pares ordenados possíveis. Passo 2: Como a questão diz que a ordem não importa, os pares (a, b) e (b, a) representam a mesma decomposição. Por exemplo, 1 + 44 e 44 + 1 são a mesma decomposição. Passo 3: Cada decomposição é contada duas vezes entre os pares ordenados, exceto quando a = b. Como 45 é ímpar, não existe a = b inteiro (45/2 = 22,5), então nenhuma decomposição é contada uma única vez. Logo, o número de decomposições distintas é 44 / 2 = 22. Passo 4: Conferindo pela lista: as decomposições são 1+44, 2+43, ..., 22+23, totalizando 22 pares, cada um com parcelas diferentes. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (45) confunde o total de participantes com o número de decomposições; a alternativa C (21) exclui indevidamente uma decomposição válida; a alternativa D (23) arredonda 22,5 para cima ou inclui a decomposição 0 + 45, que não é permitida; a alternativa E (44) conta os pares ordenados, ignorando que a ordem não deve ser considerada. Passo 6: Portanto, a resposta correta é a alternativa B, coincidindo com o gabarito oficial.

💡 Dica: Liste as decomposições e conte as combinações sem repetir ordem.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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