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ENEM - 2009 Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT307

Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

ENEM - 2009 Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura. Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere v3/3 = 0,58) Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere v3/3 = 0,58)

A) 50%.
B) 43%
C) 37%
D) 33%
E) 19%

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

O terreno tem área 3 x 2 = 6 km². A área de extração é um quarto de círculo de raio 1 km, com centro no canto inferior esquerdo, portanto cada um dos três irmãos deve receber um terço dessa área. Na figura, duas retas partem desse canto e dividem o quarto de círculo em três setores de 30 graus, cada um com área pi/12.
Considere o sistema de eixos com origem no canto inferior esquerdo. A reta que limita a parte de João é a reta que forma 60 graus com o eixo horizontal, ou seja, y = raiz de 3 vezes x. Ela corta a borda superior do terreno (y = 2) no ponto x = 2/raiz de 3.
A parte de João é o triângulo com vértices na origem, em (0, 2) e em (2/raiz de 3, 2). Sua área é (base x altura)/2 = (2/raiz de 3 x 2)/2 = 2/raiz de 3 = 2 x raiz de 3/3 = 2 x 0,58 = 1,16 km². Esse triângulo contém o setor de 60 a 90 graus, que é a terça parte da extração, e o restante do triângulo é terreno sem ouro. Os outros dois irmãos ficam com as partes abaixo dessa reta.
A porcentagem pedida é 1,16 / 6 = 0,193, ou seja, aproximadamente 19%. A alternativa E é a correta.
A alternativa A (50%) está errada, pois João não recebe metade do terreno, e sim uma faixa triangular de cerca de 1,16 km². A alternativa B (43%) está errada porque o valor 2,58 km² corresponde a 2 mais raiz de 3/3, combinação que não representa a área do triângulo. A alternativa C (37%) está errada porque o resultado de cerca de 2,2 km² não corresponde à área correta do triângulo. A alternativa D (33%) está errada porque corresponde a um terço do terreno, o que ignora a forma da partilha definida pela reta.

💡 Dica: Calcule a área do quarto de círculo e divida em três partes iguais para repartir entre os irmãos.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Senso comum

Supôs que João recebeu metade do terreno, sem calcular a área da região delimitada pela reta de divisão.

B Erradaerro: Procedimental

Somou uma parte retangular de 2 km² com o valor raiz de 3/3 em vez de calcular corretamente a área triangular, obtendo cerca de 2,58 km².

C Erradaerro: Procedimental

Errou o cálculo da área do triângulo, por exemplo esquecendo a divisão por 2 ou usando uma altura incorreta, o que levou a uma área aproximada de 2,2 km².

D Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

Considerou que João recebeu simplesmente um terço do terreno total, confundindo a partilha da área de extração com a divisão da área do terreno.

Por que engana: O aluno pode confundir a área do quarto de círculo com a área total do retângulo, não considerando a proporção correta na divisão entre os irmãos.

E Correta

João ficou com 1/3 da área de extração, que corresponde a aproximadamente 19% da área total do terreno.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 progressao

🎯 Conceito central

área de setores circulares

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

cálculo de áreas · quarto de círculo

📚 Reveja

Revisar cálculo de áreas de setores circulares e divisão proporcional de áreas.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a área do quarto de círculo com a área total do retângulo, não considerando a proporção correta na divisão entre os irmãos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cotidiano

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