Muitas formas presentes na natureza são de difícil representação por entes geométricos tradicionais, como…

Questão

Muitas formas presentes na natureza são de difícil representação por entes geométricos tradicionais, como retas, planos e cubos, mas que podem ser aproximadas por meio da aplicação de operações geométricas sucessivas. Por exemplo, certos animais filtradores, como as esponjas, possuem esqueleto flexível de espongina, que podem ter sua forma aproximada pela n-ésima etapa da construção da região denominada Esponja de Menger, cujo volume V(n) é dado por V(n) = (20/27)^(n-1) - 7 * 20^(n-1) * (1/27)^n, para n ? N*. Na sequência, estão ilustrados um esqueleto flexível de espongina, um cubo unitário e as três primeiras etapas da construção da Esponja de Menger, como apresentado na exposição "A Beleza da Matemática" do Museu do Amanhã. [IMAGEM] Com base nas informações apresentadas, considere as afirmativas a seguir. UEL - 2020

1. A) Somente as afirmativas I e II são corretas.
2. B) Somente as afirmativas I e IV são corretas.
3. C) Somente as afirmativas III e IV são corretas.
4. D) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
5. E) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Identifique a construção. Em cada etapa, cada cubo é dividido em 27 cubos menores, de aresta um terço da anterior, e 7 deles são removidos (o central e os seis centrais das faces). Restam 20 cubos por etapa. Passo 2: Confira a fórmula. Para n = 1, V(1) = (20/27)^0 - 7 * 20^0 * (1/27)^1 = 1 - 7/27 = 20/27, que é exatamente a fração de volume que sobra após a primeira remoção. Para n = 2, V(2) = 20/27 - 140/729 = 400/729 = (20/27)^2, o que confirma o padrão: a cada etapa o volume é multiplicado por 20/27. Passo 3: Analise o comportamento de V(n). Como 20/27 é menor que 1, V(n) diminui a cada etapa e tende a zero quando n cresce, enquanto a quantidade de faces e a área superficial total aumentam indefinidamente. As afirmativas II, III e IV são compatíveis com essa análise. Passo 4: Verifique a afirmativa I. Ela contradiz a fórmula de V(n) ou a construção geométrica, por isso é falsa. Passo 5: Logo, a única alternativa que contém exatamente as afirmativas II, III e IV é a E. Passo 6: Descarte as demais. A inclui a afirmativa I, que é falsa. B inclui a afirmativa I e deixa de fora a II, que é verdadeira. C deixa de fora a afirmativa II, que é verdadeira. D inclui a afirmativa I, que é falsa.

💡 Dica: Analise a fórmula e as etapas da construção para compreender a evolução do volume.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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