Um satélite GPS orbita a v = 3.9 km/s. Estime o atraso diário do seu relógio devido à dilatação do tempo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar a evolução estelar associando-a aos modelos de origem e distribuição dos elementos químicos no Universo, compreendendo suas relações com as condições necessárias ao surgimento de sistemas solares e planetários, suas estruturas e composições e as possibilidades de existência de vida, utilizando representações e simulações, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um satélite GPS orbita a v = 3.9 km/s. Estime o atraso diário do seu relógio devido à dilatação do tempo relativística (SR). Use c = 3.0×10^8 m/s e dia = 86400 s.
- A) O atraso é 2.5 µs por dia, pois a velocidade é baixa.
- B) Atraso de 4.5 µs, pois a velocidade do satélite é desprezível.
- C) O atraso é 15 µs, pois tempo dilata em órbita.
- D) ˜ 7.3 µs por dia (relógio do satélite mais lento)
- E) Atraso de 10 µs, com ? = 1.1, pois erro de cálculo é pequeno.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Converter a velocidade para metros por segundo: v = 3,9 km/s = 3900 m/s. Passo 2: Na dilatação do tempo da relatividade restrita, para v muito menor que c, a diferença relativa entre os relógios é aproximadamente Δt/t ≈ v^2/(2c^2). Passo 3: Calcular v^2 = 3900^2 = 1,521 x 10^7 m^2/s^2 e 2c^2 = 2 x (3,0 x 10^8)^2 = 1,8 x 10^17 m^2/s^2. Passo 4: Dividir: (1,521 x 10^7)/(1,8 x 10^17) ≈ 8,45 x 10^-11. Passo 5: Multiplicar pelo número de segundos em um dia: 8,45 x 10^-11 x 86400 s ≈ 7,3 x 10^-6 s, ou seja, cerca de 7,3 µs por dia. Passo 6: Como o relógio do satélite anda mais devagar que o relógio no solo, o atraso acumulado por dia é de aproximadamente 7,3 µs. Conclusão: a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A acerta que o efeito é pequeno, mas o valor de 2,5 µs não sai da fórmula com os dados fornecidos; B afirma que a velocidade é desprezível, o que contradiz o cálculo, que mostra um efeito de vários microssegundos por dia; C confunde a dilatação do tempo em órbita com efeitos gravitacionais da relatividade geral, e 15 µs também não corresponde ao cálculo; E introduz um fator 1,1 sem justificativa e com um valor de 10 µs que não resulta da estimativa pedida.
💡 Dica: Calcule a dilatação do tempo usando a fórmula da relatividade.
Alternativa por alternativa
Acredita que, por a velocidade ser baixa, o efeito é pequeno, e por isso chuta um valor sem aplicar a fórmula de v^2/(2c^2) multiplicada pelo dia. A intuição qualitativa está certa, mas a quantificação está errada.
Por que engana: Confundir a relação entre velocidade e dilatação do tempo, subestimando o efeito em velocidades relativísticas.
Interpreta 'velocidade baixa' como 'efeito desprezível' e, ao mesmo tempo, atribui um atraso de 4,5 µs, o que é contraditório. Não percebe que o efeito, embora pequeno, é mensurável e que deve ser calculado.
Acha que a dilatação do tempo ocorre por estar em órbita, misturando a relatividade restrita (que depende da velocidade) com a relatividade geral (campo gravitacional). O valor de 15 µs também não resulta de nenhum cálculo com v e c.
Para v«c: ?˜1+v²/(2c²). Diferença ˜ ?t·v²/(2c²) = 86400·(3.9×10^3 m/s)²/(2·(3.0×10^8 m/s)²) ˜ 7.3×10^-6 s ˜ 7.3 µs.
Considera que um pequeno erro de cálculo justifica um fator de correção arbitrário (? = 1,1) e aceita o valor de 10 µs sem refazer a conta. Não percebe que a estimativa correta deve sair diretamente de v^2/(2c^2) multiplicado por 86400 s.
Raio-X da questão
dilatação do tempo
avaliacao
dilatação do tempo · velocidade da luz
Revisar os conceitos de relatividade e dilatação do tempo.
Confundir a relação entre velocidade e dilatação do tempo, subestimando o efeito em velocidades relativísticas.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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