Há três caixas: C1 com 2 vermelhas e 3 azuis; C2 com 1 vermelha e 1 azul; C3 com 3 vermelhas e 2 azuis…

Questão

Há três caixas: C1 com 2 vermelhas e 3 azuis; C2 com 1 vermelha e 1 azul; C3 com 3 vermelhas e 2 azuis. Escolhe-se uma caixa com P(C1)=1/2, P(C2)=1/4, P(C3)=1/4; então, retira-se duas bolas sucessivas sem reposição da caixa escolhida. Seja A = 'ambas as bolas são vermelhas' e B = 'a segunda bola é azul'. (a) Calcule P(A). (b) Calcule P(B). (c) Os eventos A e B são independentes? Justifique e calcule P(A n B).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Calcule por probabilidades totais. Em cada caixa i, obtenha P_i(A) e P_i(B). C1 (2R,3B): P1(A)=(2/5)(1/4)=1/10; P1(B)=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=12/20=3/5. C2 (1R,1B): P2(A)=0; P2(B)=(1/2)·0+(1/2)·1=1/2. C3 (3R,2B): P3(A)=(3/5)(2/4)=3/10; P3(B)=(2/5)(1/4)+(3/5)(2/4)=8/20=2/5. P(A)=½·1/10+¼·0+¼·3/10=1/20+3/40=1/8. P(B)=½·3/5+¼·1/2+¼·2/5=12/40+5/40+4/40=21/40. P(AnB)=0 (A implica segunda vermelha, contradiz B). Como P(A)·P(B)= (1/8)(21/40)=21/320>0, A e B não são independentes (são mutuamente exclusivos).

Explicação

A resolução utiliza a regra das probabilidades totais para calcular a probabilidade dos eventos A e B em cada caixa, considerando as combinações possíveis de bolas. A análise mostra que A e B não podem ocorrer simultaneamente, pois A requer que ambas as bolas sejam vermelhas, enquanto B exige que a segunda bola seja azul. Portanto, como P(A n B) é igual a zero e P(A)·P(B) é maior que zero, conclui-se que os eventos são mutuamente exclusivos e não independentes.

Raio-X da questão

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