Há três caixas escolhidas com probabilidades P(Caixa A)=1/2, P(Caixa B)=1/3 e P(Caixa C)=1/6. Conteúdo: A tem…

Questão

Há três caixas escolhidas com probabilidades P(Caixa A)=1/2, P(Caixa B)=1/3 e P(Caixa C)=1/6. Conteúdo: A tem 2 bolas vermelhas e 3 azuis; B tem 1 vermelha e 1 azul; C tem 3 vermelhas e 2 azuis. Escolhe-se uma caixa conforme as probabilidades dadas e retira-se uma bola ao acaso. (a) Calcule a probabilidade de retirar uma bola vermelha. (b) Calcule P(Caixa A | bola vermelha). (c) Verifique se os eventos 'escolher Caixa A' e 'retirar vermelha' são independentes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Usar probabilidade total e teorema de Bayes. P(vermelha | A)=2/5, P(vermelha | B)=1/2, P(vermelha | C)=3/5. (a) P(V)=P(A)P(V|A)+P(B)P(V|B)+P(C)P(V|C) = (1/2)(2/5)+(1/3)(1/2)+(1/6)(3/5) = 1/5 + 1/6 + 1/10 = (6+5+3)/30 = 14/30 = 7/15. (b) P(A | V) = P(A)P(V|A)/P(V) = (1/2·2/5)/(7/15) = (1/5)/(7/15) = 3/7. (c) Verifica-se independência se P(AnV)=P(A)P(V). P(AnV)=P(A)P(V|A)=1/5. P(A)P(V)=(1/2)(7/15)=7/30 ? 1/5 (6/30), portanto não são independentes.

Explicação

A solução utiliza a regra da probabilidade total para calcular a probabilidade de retirar uma bola vermelha, considerando as diferentes caixas e suas respectivas probabilidades. Em seguida, aplica o teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de ter escolhido a Caixa A, dado que uma bola vermelha foi retirada. Por fim, a verificação da independência dos eventos é feita comparando a probabilidade conjunta com o produto das probabilidades individuais, mostrando que os eventos não são independentes.

Raio-X da questão

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