Escolhe-se, com igual probabilidade, um dos envelopes 1, 2 ou 3. O envelope 1 contém 2 bolas vermelhas e 1…

Questão

Escolhe-se, com igual probabilidade, um dos envelopes 1, 2 ou 3. O envelope 1 contém 2 bolas vermelhas e 1 azul; o envelope 2 contém 1 vermelha e 1 azul; o envelope 3 contém 0 vermelhas e 3 azuis. Retira-se uma bola ao acaso do envelope escolhido (uma bola). Seja R = 'a bola é vermelha' e E1 = 'foi escolhido o envelope 1'. (a) Calcule P(R), P(R|E1) e P(E1|R). (b) Verifique se R e E1 são independentes e justifique.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(R)=? P(Ei)P(R|Ei) = (1/3)(2/3)+(1/3)(1/2)+(1/3)(0) = 2/9+1/6 = 7/18. P(R|E1)=2/3. P(E1|R)=P(R|E1)P(E1)/P(R) = (2/3)(1/3)/(7/18) = (2/9)/(7/18) = 4/7. Como P(R|E1)=2/3 ? P(R)=7/18 (ou P(E1nR)?P(E1)P(R)), R e E1 não são independentes: a probabilidade de vermelha depende do envelope escolhido.

Explicação

O cálculo de P(R) leva em consideração a probabilidade de escolher cada envelope e a probabilidade de retirar uma bola vermelha de cada um, resultando em 7/18. A probabilidade condicional P(R|E1) é 2/3, indicando que, dado que o envelope 1 foi escolhido, a chance de retirar uma bola vermelha é alta. Como P(E1|R) não é igual a P(E1), isso demonstra que os eventos não são independentes, pois a escolha do envelope influencia a probabilidade de se retirar uma bola vermelha.

Raio-X da questão

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