Em um anel planetário, um arco tem comprimento s = 5000 km em uma circunferência de raio r = 100000 km…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um anel planetário, um arco tem comprimento s = 5000 km em uma circunferência de raio r = 100000 km. Calcule o comprimento da corda que liga os extremos do arco. Use ? = s/r (radianos) e corda = 2r·sin(?/2).
- A) corda = 5000 + 100000 = 105000 km
- B) corda = s²/r = 5000²/100000 = 250 km
- C) corda = 2·100000·cos(?) = 200000·cos(0,05) ˜ 19900,00 km
- D) corda = 2r·tan(?/2) = 2·100000·tan(0,025)
- E) ? = 5000/100000 = 0,05 rad; corda = 2·100000·sin(0,025) ˜ 4999,48 km
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Converter o arco em ângulo central. Pela fórmula dada, θ = s/r = 5000/100000 = 0,05 rad.
- Calcular a metade do ângulo. θ/2 = 0,025 rad.
- Aplicar a fórmula da corda, corda = 2r·sen(θ/2) = 2·100000·sen(0,025) = 200000·sen(0,025).
- Calcular o seno. Como sen(x) é aproximadamente x - x^3/6 para x pequeno, sen(0,025) ≈ 0,025 - 0,0000026 = 0,0249974.
- Multiplicar. Corda ≈ 200000 · 0,0249974 ≈ 4999,48 km. Esse valor coincide com a alternativa E, que é o gabarito oficial, e concordo com ele.
- Por que as outras estão erradas. A soma de arco e raio (A) mistura grandezas de natureza diferente e não representa uma corda. A fórmula s²/r (B) não sai da geometria da circunferência e dá 250 km, valor menor que o próprio arco, o que é impossível para uma corda. A alternativa C usa cosseno em vez de seno e, além disso, o cálculo está errado: 200000·cos(0,05) é aproximadamente 199750 km, não 19900 km. A alternativa D usa tangente, que descreve outro segmento geométrico, e não apresenta valor numérico final.
💡 Dica: Converta o arco em ângulo central em radianos e aplique a fórmula da corda.
Alternativa por alternativa
O aluno somou o comprimento do arco (5000 km) ao raio (100000 km), tratando a corda como se fosse uma soma de comprimentos sem relação com a geometria da circunferência.
O aluno aplicou uma fórmula inventada, s²/r, que parece uma aproximação mas não relaciona corda e arco corretamente; ainda assim, ignorou que a corda deve ser menor que o arco e que o resultado de 250 km é absurdo.
O aluno trocou o seno pelo cosseno na fórmula da corda, usando 2r·cos(θ) em vez de 2r·sen(θ/2), e além disso errou a multiplicação, obtendo 19900 km em vez de cerca de 199750 km.
O aluno confundiu a corda com o segmento tangente, usando tan(θ/2) em vez de sen(θ/2). A fórmula com tangente não é a da corda e a alternativa não apresenta resultado numérico.
Por que engana: Confundir o comprimento do arco com o da corda ou aplicar incorretamente a fórmula trigonométrica, esquecendo de dividir o ângulo central por dois.
? = s/r = 0,05 rad; corda = 2r·sin(?/2) = 200000·sin(0,025) ˜ 200000·0,024997396 = 4999,48 km.
Raio-X da questão
corda de circunferência
avaliacao
ângulo em radianos · razões trigonométricas básicas
Revise a relação entre comprimento de arco, raio e ângulo em radianos, além da fórmula da corda.
Confundir o comprimento do arco com o da corda ou aplicar incorretamente a fórmula trigonométrica, esquecendo de dividir o ângulo central por dois.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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