Proponha e explique um procedimento, com equações e cálculos exemplificados, para estimar a obliquidade…

Questão

Proponha e explique um procedimento, com equações e cálculos exemplificados, para estimar a obliquidade (inclinação) do eixo da Terra e usando medidas do comprimento da sombra ao meio-dia solar em duas datas: solstício de verão e solstício de inverno. Considere que a latitude f do local é conhecida e que o gnômon vertical tem altura h = 1,00 m.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta-modelo (passos e cálculo): 1) Equações fundamentais: s = h·cot A (com A em graus/rad) e, ao meio-dia solar, A = 90° - f + d, onde d é a declinação solar do dia. Nas datas dos solstícios d = +e (verão) e d = -e (inverno). 2) Medidas: registrar os comprimentos de sombra ao meio-dia solar nos dois solstícios: s_verão e s_inverno. 3) Calcular as alturas solares A_verão e A_inverno por A = arctan(h/s). (pois A = arccot(s/h) = arctan(h/s)). 4) Determinar as declinações estimadas: d_verão = A_verão - (90° - f) e d_inverno = A_inverno - (90° - f). 5) Estimar a obliquidade: e ˜ (d_verão - d_inverno)/2 (se sinais forem opostos, e ˜ (|d_verão|+|d_inverno|)/2). Exemplo numérico (f = 45,0°, h = 1,00 m; valores ideais para e = 23,5°): - A_verão = 90° - f + e = 90 - 45 + 23,5 = 68,5° ? s_verão = h·cot68,5° ˜ 0,391 m. - A_inverno = 90° - f - e = 21,5° ? s_inverno = cot21,5° ˜ 2,557 m. Supondo que as medidas forneçam s_verão ˜ 0,391 m e s_inverno ˜ 2,557 m, então A_verão = arctan(1/0,391) = 68,5°; A_inverno = arctan(1/2,557) = 21,5°. d_verão = 68,5° - (90° - 45°) = 23,5°; d_inverno = 21,5° - 45° + 90°? (usar mesma expressão) = -23,5°. e = (23,5° - (-23,5°))/2 = 23,5°. Observações práticas: usar média de várias medidas; corrigir por inclinação do gnômon; registrar o meio-dia solar verdadeiro (passagem meridiana) para evitar erro por hora local.

Explicação

O procedimento proposto utiliza a relação entre a altura do gnômon, o comprimento da sombra e a inclinação do sol para determinar a declinação solar nos solstícios. Ao calcular a diferença entre as declinações obtidas em ambas as datas e aplicar a média, é possível estimar a obliquidade do eixo da Terra. Esse método é eficaz, pois considera a latitude do local e as variações sazonais da posição do sol.

Raio-X da questão

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