As vistas ortogonais (planta, frente e lateral direita) de um sólido mostram um cuboide de base 10 cm × 8 cm e…

Questão

As vistas ortogonais (planta, frente e lateral direita) de um sólido mostram um cuboide de base 10 cm × 8 cm e altura 4 cm, sobre o qual está centrada uma pirâmide truncada (frustum) de base inferior quadrada 6 cm × 6 cm, base superior quadrada 2 cm × 2 cm e altura 3 cm. A planta mostra o retângulo 10×8 com a projeção da base inferior do frustum (6×6) centrada e, dentro dela, a base superior (2×2) centrada. Apresente um esboço justificando a forma tridimensional e calcule o volume total e a área total da superfície externa do sólido (em cm²).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta modelo — Construção e cálculos: 1) Identificação: o sólido é a união de um cuboide 10×8×4 e de uma pirâmide truncada (frustum) de altura h=3 com bases quadradas de lados a1=6 e a2=2, assentada sobre o cuboide. 2) Volume do cuboide: Vc = 10·8·4 = 320 cm³. 3) Áreas das bases do frustum: A1 = 6² = 36 cm², A2 = 2² = 4 cm². Volume do frustum: Vf = h·(A1 + A2 + v(A1·A2))/3 = 3·(36+4+v144)/3 = (36+4+12) = 52 cm³. 4) Volume total: V = Vc + Vf = 320 + 52 = 372 cm³. 5) Área externa — partes: a) Cuboide exposto: as faces laterais do cuboide têm área 2·(10·4) + 2·(8·4) = 80 + 64 = 144 cm². A face superior do cuboide tem área 10·8 = 80 cm², mas a região ocupada pela base inferior do frustum (36 cm²) fica coberta; área exposta do topo = 80 - 36 = 44 cm². Subtotal cuboide exposto = 144 + 44 = 188 cm². b) Frustum — faces laterais: cada face lateral é um trapézio com bases 6 e 2 e altura igual à aresta inclinada (slant) s. Metade da diferença dos lados = (6-2)/2 = 2; então s = v(h² + 2²) = v(9+4) = v13. Área lateral total do frustum = 4 · (6+2)/2 · s = 16·s = 16·v13 cm². c) Topo do frustum (base superior): A2 = 4 cm². 6) Área total externa: At = 188 + 16·v13 + 4 = 192 + 16·v13 cm². 7) Valores numéricos aproximados: Vf ˜ 52 cm³, V ˜ 372 cm³; v13 ˜ 3,6056 ? At ˜ 192 + 57,69 ˜ 249,69 cm². Conclusão: Volume total = 372 cm³. Área total externa = 192 + 16·v13 cm² (˜ 249,7 cm²).

Explicação

A solução apresenta um raciocínio lógico ao decompor o sólido em suas partes constituintes, calculando separadamente o volume e a área de cada componente. Os cálculos dos volumes e áreas são realizados com precisão, considerando as áreas cobertas e a geometria dos sólidos. A conclusão é apresentada de forma clara, com aproximações numéricas que facilitam a interpretação dos resultados finais.

Raio-X da questão

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