No plano cartesiano, A(-2,-1) e C(4,3) são vértices opostos de um retângulo ABCD. Mostre que existem infinitos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Classificar e comparar figuras planas (triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e paralelogramo) em relação a seus lados (quantidade, posições relativas e comprimento) e vértices.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, A(-2,-1) e C(4,3) são vértices opostos de um retângulo ABCD. Mostre que existem infinitos pares B e D; determine um par com coordenadas inteiras e calcule o perímetro e a área desse retângulo. Resolva sem usar fórmulas prontas.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
O ponto médio M de AC é ((-2+4)/2,( -1+3)/2) = (1,1). Em um retângulo os pontos B e D são simétricos em relação a M: B = M + w, D = M - w, com w ? AC. O vetor AC = (6,4); vetores w = (x,y) que satisfazem 6x+4y=0 são perpendiculares a AC. A solução geral é w = (2t,-3t) para t?R; como t varia há infinitos pares (B,D). Para coordenadas inteiras escolha t = -1 ? w = (-2,3). Então B = M + w = (-1,4) e D = M - w = (3,-2). Calcule lados: AB = B - A = (1,5) com comprimento v(1²+5²)=v26; BC = C - B = (5,-1) com comprimento v(5²+(-1)²)=v26; são perpendiculares, logo é um quadrado de lado v26. Perímetro = 4·v26 e área = (v26)² = 26 unidades².
Explicação
A solução demonstra que os pontos B e D podem ser determinados a partir do ponto médio M de AC e de um vetor w que é perpendicular a AC, garantindo a simetria necessária para formar um retângulo. A escolha de um valor específico para t permite encontrar coordenadas inteiras para B e D, e o cálculo dos lados do retângulo confirma que ele é um quadrado, facilitando a determinação do perímetro e da área. A abordagem utilizada é consistente com as propriedades geométricas dos retângulos e a relação entre seus vértices.
Raio-X da questão
retângulo no plano cartesiano
avaliacao
coordenadas no plano cartesiano · propriedades do retângulo
Revisar as propriedades dos retângulos e como calcular perímetro e área.
O aluno pode confundir as coordenadas dos vértices e não encontrar um par B e D que mantenha as propriedades do retângulo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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