Descreva por escrito e por meio de um fluxograma um algoritmo que, dado um segmento AB de comprimento s>0 e um…

Questão

Descreva por escrito e por meio de um fluxograma um algoritmo que, dado um segmento AB de comprimento s>0 e um inteiro n=2^k (k=1), construa com régua e compasso um n-gono regular cujo lado seja s. Apresente passos executáveis e justificativa geométrica.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta modelo (texto + fluxograma textual): 1) Dados: segmento AB de comprimento s; n=2^k. Objetivo: construir n-gono regular de lado AB. 2) Construa a mediatriz de AB; encontre o ponto O na mediatriz tal que OA=OB=R, com R calculado geometricamente: R = s/(2·sin(p/n)). Como n=2^k, sin(p/n) é construível por bisseções de ângulo. Procedimento para R: a) construa um ângulo reto em O0; b) faça k bisseções sucessivas do ângulo reto para obter o ângulo p/n; c) com o vértice e raio inicial, convença-se geometricamente que a construção de segmento cuja projeção gera a relação s=2R·sin(p/n) permite marcar R usando interseções de círculos e linhas (transferência de comprimentos com compasso). 3) Com centro O e raio R desenhe a circunferência; marque pontos A e B com distância s no círculo (A dado, B já corresponde ao segmento AB). 4) Para i=1 até n-1: construa, a partir de O, o arco correspondente ao ângulo central 2p/n obtido por bisseções; marque sucessivamente os vértices V_i rotacionando o arco (usar interseção de círculos com compasso para transferir o arco). 5) Una os vértices V_0=A,V_1,...,V_{n-1} com segmentos para formar o n-gono. Justificativa geométrica: para n=2^k é possível obter o ângulo p/n por k bisseções de ângulo iniciando-se de ângulo reto (p/2) e, portanto, construir sin(p/n) e a relação R=s/(2 sin(p/n)) com régua e compasso; a circunferência de raio R tem cordas iguais s correspondentes ao polí­gono regular. Fluxograma (textual): Início ? Ler AB,s e n=2^k ? Construir mediatriz de AB e ponto O provisório ? Determinar p/n por k bisseções ? Construir R via construção geométrica de s/(2 sin(p/n)) ? Desenhar circunferência centro O, raio R ? Marcar vértices por arco 2p/n ? Ligar vértices ? Fim.

Explicação

A construção do n-gono regular é fundamentada na capacidade de obter ângulos específicos através de bisseções, permitindo a construção de segmentos proporcionais que respeitam a relação entre o lado do polígono e o raio da circunferência. A utilização da mediatriz e da circunferência garante que todos os vértices do n-gono sejam equidistantes do centro, assegurando a regularidade da figura. A sequência de passos descrita, juntamente com a justificativa geométrica, demonstra a viabilidade da construção com régua e compasso, conforme as limitações da geometria clássica.

Raio-X da questão

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