Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo que, dada a medida do lado s>0, construa um…

Questão

Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo que, dada a medida do lado s>0, construa um nonágono (n = 9) regular, usando (a) régua e compasso; (b) software geométrico. Justifique a exatidão da construção.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta-modelo (sugestão de texto + fluxograma): 1) Observação teórica: o nonágono regular tem ângulo central ? = 2p/9 e relação entre lado e raio R: s = 2R sin(p/9) ? R = s/(2 sin(p/9)). Pelo teorema de Wantzel, n=9 (fator 3^2) não é obtido por produto de 2 e primos de Fermat, portanto não existe construção exata por régua e compasso para o nonágono regular. Logo a construção por régua e compasso só pode ser aproximada; o software permite construção numérica exata até precisão arbitrária. Algoritmo (software - passos e fluxograma): A1: Entrada: s>0. A2: Calcular R = s/(2 sin(p/9)) numericamente. A3: Escolher ponto O como centro; traçar circunferência de raio R. A4: Fixar um ponto P0 na circunferência (vértice 1). A5: Para k = 1..8: calcular Pk coordenadas Pk = O + R*(cos(k·2p/9), sin(k·2p/9)); plotar pontos e unir sucessivamente. A6: Saída: nonágono regular desenhado com precisão numérica. Justificativa (software): cálculo exato das coordenadas com funções trigonométricas garante precisão controlada; R obtido pela relação de corda garante lado s. Algoritmo (régua e compasso aproximado - passos e fluxograma): B1: Entrada: s>0. B2: Estimar numeric. R ˜ s/(2 sin(p/9)) com calculadora; traçar circunferência de raio R em O. B3: Com compasso, marcar um ponto P0; tentar reproduzir o comprimento de corda s sobre a circunferência: com abertura do compasso igual ao segmento s, marcar sucessivamente arcos a partir de P0 até fechar. Se o nono ponto não coincidir com P0, aplica-se correção iterativa (ajustar ligeiramente R ou distribuir o erro uniformemente) até tolerância desejada. B4: Alternativa construtiva aproximada: construir um polígono de ordem múltipla construtível próximo (por ex. 18-gono construtível pela bisseção de um 9-gono ideal) e selecionar vértices alternados para aproximar; ou dividir o círculo em arcos aproximados por combinações de ângulos construíveis (bisseções repetidas) para obter aproximação de 40°. B5: Saída: nonágono aproximado com erro controlado. Discussão final: indicar que a impossibilidade de construção exata decorre da teoria de corpos e das raízes de unidades; portanto, a via correta para exatidão é o cálculo e a plotagem numérica em software; métodos com régua e compasso devem visar aproximação e controlar erro, que pode ser quantificado computacionalmente. Fluxograma deve espelhar as etapas A1–A6 e B1–B5 em blocos de início, entrada, processamento, iteração e saída.

Explicação

A construção de um nonágono regular com régua e compasso é impossível devido à natureza dos ângulos envolvidos, conforme demonstrado pelo teorema de Wantzel, que limita as construções a polígonos cujos números de lados são produtos de potências de 2 e primos de Fermat. Assim, a abordagem numérica em software permite calcular com precisão as coordenadas dos vértices, garantindo uma construção exata. A resposta também aborda métodos alternativos para aproximação, reconhecendo as limitações da construção clássica.

Raio-X da questão

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