Considere um prisma reto de altura H = 40 cm cuja base é o triângulo retângulo ABC com catetos AB = 15 cm e AC…

Questão

Considere um prisma reto de altura H = 40 cm cuja base é o triângulo retângulo ABC com catetos AB = 15 cm e AC = 20 cm (hipotenusa BC = ?). No segmento BC marque o ponto M tal que BM = 12,5 cm. A partir de M traçam-se, no plano da base, retas paralelas a AB e a AC que intersectam os lados AC e AB nos pontos P e Q, respectivamente. O triângulo PMQ é, assim, interno ao triângulo ABC. Determine o volume, em cm³, do prisma cuja base é o triângulo PMQ e cuja altura é H = 40 cm.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Calcule BC usando Pitágoras: BC = v(15²+20²) = v(225+400) = v625 = 25 cm. 2) A posição de M sobre BC corresponde a t = BM/BC = 12,5/25 = 0,5. As retas traçadas por M paralelas a AB e AC determinam um triângulo PMQ similar a ABC com razão linear k = 0,5 (as paralelas produzem semelhança entre triângulos). 3) Área da base original ABC = (AB·AC)/2 = (15·20)/2 = 150 cm². A área da base PMQ = k²·150 = 0,25·150 = 37,5 cm². 4) Volume do prisma de base PMQ = área_base·altura = 37,5·40 = 1500 cm³. Portanto, o volume pedido é 1500 cm³.

Explicação

O cálculo do comprimento da hipotenusa BC utilizando o Teorema de Pitágoras é fundamental para determinar a posição de M e, consequentemente, a razão de semelhança entre os triângulos PMQ e ABC. A área do triângulo PMQ é obtida pela multiplicação da área do triângulo ABC pela razão de semelhança ao quadrado, refletindo a relação entre os lados. O volume do prisma é então calculado multiplicando a área da base PMQ pela altura, resultando no valor final de 1500 cm³.

Raio-X da questão

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