Uma estrela similar ao Sol tem massa M* = 2,0×10^30 kg e raio R* = 7,0×10^8 m. Observou-se um trânsito com…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma estrela similar ao Sol tem massa M* = 2,0×10^30 kg e raio R* = 7,0×10^8 m. Observou-se um trânsito com profundidade d = 0,01 (fluxo reduzido 1%), período orbital P = 5,0 dias e semi-amplitude radial K = 30 m/s (assuma excentricidade e = 0). Determine: (a) raio do planeta Rp; (b) massa mínima Mp·sin i. Use G = 6,67×10?¹¹ N·m²/kg² e forneça cálculos.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
(a) Raio: d=(Rp/R*)^2 ? Rp=R*·vd = 7,0×10^8·v0,01 = 7,0×10^7 m (˜1,0 R_J). (b) Fórmula da semi-amplitude para e=0: K = (2pG/P)^{1/3}·(Mp·sin i)/M*^{2/3}. Isolando Mp·sin i: Mp·sin i = K·M*^{2/3}/(2pG/P)^{1/3}. Calcule P em segundos: P = 5·86400 = 432000 s. 2pG/P = 2p·6,67×10?¹¹/432000 ˜ 9,7×10?¹6; (2pG/P)^{1/3} ˜ 1,0×10?5 s?1. M*^{2/3} = (2,0×10^30)^{2/3} ˜ 1,587×10^20 kg^{2/3}. Então Mp·sin i ˜ 30 / (6,3×10?26) ˜ 4,8×10^26 kg ˜ 0,25 M_J (M_J ˜1,9×10^27 kg). Conclusão: Rp = 7,0×10^7 m; Mp·sin i ˜ 4,8×10^26 kg (˜0,25 massa de Júpiter).
Explicação
O cálculo do raio do planeta é feito utilizando a profundidade do trânsito, que relaciona a área do planeta com a da estrela, permitindo determinar o tamanho do planeta em comparação ao raio da estrela. Para a massa mínima do planeta, a fórmula da semi-amplitude radial é utilizada, considerando o período orbital e a massa da estrela, resultando em uma estimativa da massa do planeta em relação à massa de Júpiter. Esses passos são fundamentais para entender a dinâmica do sistema estelar e a influência gravitacional do planeta.
Raio-X da questão
massa e raio de planetas
avaliacao
lei da gravitação universal · cálculo de massa e volume
Revisar as leis de Kepler e a relação entre massa e raio em sistemas planetários.
O aluno pode confundir a relação entre massa e raio, aplicando incorretamente a fórmula da gravitação sem considerar a profundidade do trânsito.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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