Considere o triângulo ABC com A(0,0), B(15,0) e C(0,20). Seja D no segmento AB com AD = 5. A reta por D…

Questão

Considere o triângulo ABC com A(0,0), B(15,0) e C(0,20). Seja D no segmento AB com AD = 5. A reta por D paralela a BC intercepta AC em E. a) Determine AE; b) Calcule o comprimento DE; c) Mostre a relação entre as áreas dos triângulos ADE e ABC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

AB = 15, AD = 5 ? razão AD/AB = 1/3. AC = 20 ? AE = AC·(AD/AB) = 20·(1/3) = 20/3. Coordenadas: D(5,0), E(0,20/3). DE = v[(5-0)² + (0-20/3)²] = v(25 + 400/9) = v(625/9) = 25/3. Área(ABC) = (1/2)·15·20 = 150. Área(ADE) = (1/2)·AD·AE = (1/2)·5·(20/3) = 50/3. Razão das áreas = (50/3)/150 = 1/9 = (AD/AB)², mostrando a relação de semelhança.

Explicação

A solução utiliza a semelhança de triângulos para determinar as proporções entre os segmentos e as áreas. A relação entre as áreas dos triângulos é estabelecida pela razão dos lados ao quadrado, refletindo a proporcionalidade dos triângulos semelhantes formados. Os cálculos de distâncias e áreas são realizados de forma precisa, confirmando a relação entre os triângulos ADE e ABC.

Raio-X da questão

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