Considere um prisma reto triangular cuja base é um triângulo retângulo com catetos PQ = 6 cm e PR = 8 cm. A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere um prisma reto triangular cuja base é um triângulo retângulo com catetos PQ = 6 cm e PR = 8 cm. A aresta lateral (altura do prisma) tem comprimento 10 cm. Calcule a distância d entre o vértice P (ângulo reto da base) e o vértice R' do topo, correspondente ao vértice R da base.
- A) d = 5 cm, que seria a metade do comprimento da altura do prisma.
- B) d = 12 cm, pois a distância é a soma dos catetos do triângulo.
- C) d = 6 cm, considerando apenas o cateto menor do triângulo.
- D) d = 2√41 cm, pela diagonal entre P e R'.
- E) d = 15 cm, que corresponde à soma da altura e hipotenusa total.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique a base. O triângulo PQR é retângulo em P, com catetos PQ = 6 cm e PR = 8 cm. A hipotenusa QR mede raiz de (36 + 64) = 10 cm.
- Identifique o segmento pedido. P está na base e R' está no topo, sobre R. O segmento PR' liga P ao vértice do topo correspondente a R, por isso não está contido em nenhuma face de base.
- Monte um triângulo retângulo espacial. A aresta RR' é vertical e mede 10 cm (altura do prisma). O segmento PR está na base e mede 8 cm. Como RR' é perpendicular à base, PR é perpendicular a RR', e o triângulo P-R-R' é retângulo em R.
- Aplique Pitágoras. d^2 = PR^2 + RR'^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164. Logo d = raiz de 164 = 2 raiz de 41, que é aproximadamente 12,8 cm.
- Conclusão. A alternativa correta é a D, com d = 2 raiz de 41 cm. Eu resolvi a questão por conta própria e cheguei ao mesmo gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A (5 cm) é menor que a altura do prisma, mas PR' sempre é maior que RR'. B (12 cm) soma os catetos da base, o que não corresponde a nenhuma distância no espaço. C (6 cm) usa só o cateto PQ, que não participa do segmento PR'. E (15 cm) soma comprimentos sem seguir a geometria espacial, e a soma apresentada na própria alternativa não bate com os dados (altura 10 cm mais hipotenusa 10 cm daria 20 cm).
💡 Dica: Use o teorema de Pitágoras em três dimensões, combinando os catetos da base e a altura do prisma.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a distância pedida é a metade da altura do prisma, talvez por associar o ponto médio da aresta lateral ao segmento pedido. Ele não percebe que PR' conecta dois vértices não alinhados na base.
O aluno supõe que a distância espacial é a soma dos catetos da base (6 + 8), tratando a distância como um percurso ao longo da base. Ele ignora a altura do prisma e o caráter tridimensional do segmento.
Por que engana: O aluno pode considerar apenas uma medida da base ou somar comprimentos, sem reconhecer que a distância entre P e R' é a diagonal espacial formada pela hipotenusa da base e a altura do prisma.
O aluno considera apenas o cateto menor PQ como distância entre P e R', interpretando mal qual segmento liga os vértices. Ele não usa o cateto PR nem a aresta vertical RR'.
P e R' ficam a 8 cm na base e a 10 cm na altura. Assim, d = √(8² + 10²) = 2√41 cm.
O aluno soma diretamente a altura do prisma e uma medida da base, sem aplicar o teorema de Pitágoras no espaço. A soma indicada também não é consistente com os dados do enunciado, o que sugere um cálculo sem base geométrica.
Raio-X da questão
Diagonal espacial de prisma
avaliacao
Teorema de Pitágoras no plano · Elementos de prisma reto
Revise o teorema de Pitágoras e como calcular a distância entre vértices em prismas retos.
O aluno pode considerar apenas uma medida da base ou somar comprimentos, sem reconhecer que a distância entre P e R' é a diagonal espacial formada pela hipotenusa da base e a altura do prisma.
tomada_decisao
abstrato
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