Num triângulo retângulo, um cateto mede 7 cm, o outro cateto mede 2x+1 cm e a hipotenusa mede x+13 cm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, um cateto mede 7 cm, o outro cateto mede 2x+1 cm e a hipotenusa mede x+13 cm. Determine o valor de x sabendo que o triângulo é retângulo.
- A) x = 20
- B) x = (11 + v478)/3 ˜ 10.955
- C) x = 5
- D) x = 8
- E) x = -3
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como o triângulo é retângulo, vale o Teorema de Pitágoras com a hipotenusa ao quadrado igual à soma dos quadrados dos catetos: 7^2 + (2x+1)^2 = (x+13)^2. Passo 2: Desenvolvendo os quadrados: 49 + 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 26x + 169. Passo 3: Passando tudo para um lado: 4x^2 + 4x + 50 - x^2 - 26x - 169 = 0, o que resulta em 3x^2 - 22x - 119 = 0. Passo 4: Aplicando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é Δ = 22^2 - 4*3*(-119) = 484 + 1428 = 1912 = 4 * 478, então a raiz quadrada de Δ é 2 * raiz de 478. Passo 5: Logo x = (22 ± 2 * raiz de 478) / 6, que simplifica para x = (11 ± raiz de 478) / 3. Passo 6: Como x representa uma medida, só serve a raiz positiva: x = (11 + raiz de 478) / 3, aproximadamente 10,954. Passo 7: Verificação: com x cerca de 10,954, os catetos medem 7 e cerca de 22,91 e a hipotenusa mede cerca de 23,95; 49 + 524,8 é aproximadamente 573,8, que é igual a 23,95^2, então a condição é satisfeita e a hipotenusa é o maior lado. Passo 8: Conclusão: a alternativa B está correta, em concordância com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (x = 20) faz a hipotenusa (33) ser menor que um cateto (41), o que é impossível; C (x = 5) não satisfaz a equação, pois 49 + 121 = 170 é diferente de 324; D (x = 8) também não satisfaz, pois 49 + 289 = 338 é diferente de 441; E (x = -3) produz comprimentos negativos, o que não existe em geometria.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para encontrar x.
Alternativa por alternativa
O aluno aceita um valor de x que não confere e não verifica se a hipotenusa é o maior lado; provavelmente resolveu a equação de forma incompleta ou chutou um valor inteiro.
Pelo Teorema de Pitágoras: 7² + (2x+1)² = (x+13)². Isolando e reduzindo obtém-se 3x² - 22x -119 = 0; solução positiva x = (11 + v478)/3.
O aluno provavelmente igualou a soma dos lados (7 + 2x + 1 = x + 13), tratando a condição como perímetro em vez de usar o Teorema de Pitágoras.
Por que engana: Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, utilizando incorretamente os valores dos catetos e da hipotenusa.
O aluno provavelmente desenvolveu incorretamente (x+13)^2 como x^2 + 169, esquecendo o termo 26x, e por isso chegou a uma equação errada.
O aluno resolveu a equação do segundo grau, mas não verificou o domínio do problema, aceitando uma raiz negativa para uma medida de comprimento.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · equações do 1º grau
Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações.
Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, utilizando incorretamente os valores dos catetos e da hipotenusa.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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