Em um triângulo retângulo, os catetos são proporcionais a 0,3¯ e 0,4¯. Se a hipotenusa mede 5 unidades…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo, os catetos são proporcionais a 0,3¯ e 0,4¯. Se a hipotenusa mede 5 unidades, determine os comprimentos dos catetos.
- A) 2 e 6 unidades
- B) 3 e 4 unidades
- C) 1 e 4 unidades
- D) 3 e 5 unidades
- E) 2 e 3 unidades
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Converta as dízimas periódicas em frações. 0,3 com barra (0,333...) é igual a 3/9, que simplificado vale 1/3. 0,4 com barra (0,444...) é igual a 4/9. Passo 2: Como os catetos são proporcionais a 1/3 e 4/9, escreva-os como c1 = k·(1/3) e c2 = k·(4/9), com k positivo. Para eliminar as frações, multiplique ambos por 9, o que equivale a usar a proporção 3 : 4, de modo que c1 = 3k e c2 = 4k. Passo 3: Aplique o teorema de Pitágoras com hipotenusa 5: (3k)^2 + (4k)^2 = 5^2, ou seja, 9k^2 + 16k^2 = 25, logo 25k^2 = 25 e k = 1. Portanto os catetos medem 3 e 4 unidades. Passo 4: Verificação: 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2, o que confirma a resposta. Passo 5: A alternativa A está errada porque 2^2 + 6^2 = 40, diferente de 25. A alternativa C está errada porque 1^2 + 4^2 = 17, diferente de 25. A alternativa D está errada porque repete a hipotenusa como cateto e 3^2 + 5^2 = 34, diferente de 25. A alternativa E está errada porque 2^2 + 3^2 = 13, diferente de 25. O gabarito oficial B está correto.
💡 Dica: Utilize a relação de proporção entre os catetos e a hipotenusa.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente interpretou a proporção de forma simplista, sem converter corretamente as dízimas, e escolheu uma razão 1 : 3 sem verificar se os valores satisfazem o teorema de Pitágoras com hipotenusa 5.
0,3¯=1/3 e 0,4¯=4/9. Catetos = k·(1/3) e k·(4/9). Pythagoras: k²(1/9+16/81)=25 ? k²·25/81=25 ? k=9. Logo catetos 3 e 4.
O aluno provavelmente tomou os valores das dízimas de forma incorreta, chegando a uma razão 1 : 4, e não conferiu a condição da hipotenusa medir 5.
O aluno provavelmente confundiu cateto com hipotenusa e repetiu o valor 5 como um dos catetos, ignorando que a hipotenusa já foi dada no enunciado.
Por que engana: Confundir a relação de proporcionalidade dos catetos, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
O aluno provavelmente não converteu as dízimas periódicas em frações e usou valores pequenos sem relação com a razão 1/3 : 4/9, sem checar Pitágoras.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
proporcionalidade · teorema de pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e a relação entre catetos e hipotenusa.
Confundir a relação de proporcionalidade dos catetos, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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