Um drone de restauração ambiental voa a 30,0 m de altura e lança sementes com velocidade inicial v0 = 20,0…

Questão

Um drone de restauração ambiental voa a 30,0 m de altura e lança sementes com velocidade inicial v0 = 20,0 m/s. Deseja-se que uma semente atinja o solo a 40,0 m horizontal do ponto de lançamento. Despreze resistência do ar e use g = 10 m/s². Determine o(s) ângulo(s) ? (acima da horizontal) que satisfazem esse requisito; calcule o tempo de voo correspondente e discuta se há mais de uma solução física e implicações práticas para o projeto (por exemplo, limites de ângulo e segurança do drone). Forneça equações, resolução algébrica e valores numéricos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelagem e equações: para lançamento a partir de altura y0 = 30,0 m com velocidade v0 em ângulo ?, as equações paramétricas são x = v0·cos?·t e y = y0 + v0·sin?·t - (1/2)g·t². Queremos y=0 quando x=40,0 m. Substituindo t = x/(v0·cos?) em y=0 obtém-se 0 = y0 + x·tan? - (g·x²)/(2·v0²)·(1+tan²?). Definindo T = tan?, isso resulta na equação quadrática (g·x²)·T² - 2·v0²·x·T - (2·v0²·y0 - g·x²) = 0. Substituindo números: g=10, x=40, v0=20, y0=30 ? coeficientes a=16000, b=-32000, c=-8000, simplificando 2·T² -4·T -1 = 0. Solução para T: T = [4 ± sqrt(16+8)]/4 = 1 ± (sqrt6)/2. Valores numéricos: sqrt6 ˜ 2,44949 ? T1 ˜ 1 + 1,2247 = 2,2247; T2 ˜ 1 - 1,2247 = -0,2247. Interpretação dos tangentes: T = tan?. Como se pede ângulo acima da horizontal (?>0), apenas T1 é aceitável. ? = arctan(2,2247) ˜ 65,0° (acima da horizontal). Tempo de voo: t = x/(v0·cos?). Como cos? = 1/v(1+T²) ˜ 0,4100, t ˜ 40/(20·0,4100) ˜ 4,88 s. Existência de duas soluções físicas: a equação quadrática fornece duas soluções para tan?; a segunda é negativa (? ˜ -12,7°), que corresponde a lançar para baixo e ainda atingir 40 m à frente antes de chegar ao solo. Se restringirmos ? ao intervalo acima da horizontal, há uma única solução positiva (˜65,0°). Na prática, lançar com ângulo muito elevado aumenta a altura máxima da trajetória, o que pode aproximar a semente do drone—possível risco de colisão ou de turbulência de hélices; lançar com ângulo descendente exige que o pacote não colida com estruturas entre drone e solo. Implicações práticas: verificar que v0 é suficiente para atingir o alvo; considerar margem de segurança para variação de v0 e vento; avaliar se a trajetória passa por obstáculos. Se a segunda solução (? negativo) fosse permitida, seria preciso avaliar a capacidade estrutural do mecanismo de liberação e normas de segurança. Para precisão do alcance em ambiente real, incluir resistência do ar e dispersão na modelagem.

Explicação

A resolução utiliza as equações do movimento para determinar o ângulo de lançamento necessário para que a semente atinja o solo a uma distância específica, considerando a altura inicial. A análise da equação quadrática revela duas soluções para o ângulo, mas apenas a positiva é fisicamente viável, pois o ângulo deve ser acima da horizontal. Além disso, a discussão sobre as implicações práticas destaca a importância de considerar fatores como segurança e obstáculos durante o lançamento.

Raio-X da questão

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