Demonstre, usando semelhança de triângulos obtida ao traçar a altura CH até a hipotenusa AB de um triângulo…

Questão

Demonstre, usando semelhança de triângulos obtida ao traçar a altura CH até a hipotenusa AB de um triângulo retângulo ABC (?C = 90°), as três relações métricas: AC² = AB·AH, BC² = AB·BH e CH² = AH·BH. Apresente a demonstração completa por semelhança.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Traçando CH em ?ABC (?C = 90°) surgem ?ACH e ?BCH; ambas são similares a ?ABC. Pela similaridade ?ACH ~ ?ABC obtemos AC/AB = AH/AC ? AC² = AB·AH. Pela similaridade ?BCH ~ ?ABC obtemos BC/AB = BH/BC ? BC² = AB·BH. Comparando ?ACH e ?BCH (são semelhantes entre si) resulta CH/AH = BH/CH ? CH² = AH·BH. Como AH+HB = AB, as relações métrica ficam demonstradas.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações proporcionais entre os lados dos triângulos formados, permitindo derivar as relações métricas desejadas. A similaridade entre os triângulos implica que as razões entre os lados correspondentes são constantes, o que leva às equações apresentadas. Além disso, a comparação entre os triângulos menores reforça a relação entre as alturas e segmentos da hipotenusa, completando a prova.

Raio-X da questão

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