Demonstre que dois triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes se, e somente se, AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'…

Questão

Demonstre que dois triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes se, e somente se, AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'. Apresente uma demonstração completa e rigorosa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Prova: (?) Se ABC ~ A'B'C' então há correspondência de vértices com transformação de semelhança; por definição, lados correspondentes são proporcionais, logo AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'. (?) Suponha AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C' = k ? 0. Construa no plano um triângulo A'B''C'' congruente a A'B'C' escalonado pelo fator k: tome B'' sobre a semirreta a partir de A' em direção a B' com AB'' = k·A'B' e C'' tal que AC'' = k·A'C' e ?B''A'C'' = ?B'A'C'. Por construção, AB = AB'', AC = AC'' e BC = B''C'' (pois os três lados são proporcionais com mesmo k); portanto ABC é congruente a AB''C'' e, por correspondência, semelhante a A'B'C'. Alternativamente, usando SSS: se os três pares de lados são proporcionais, existe semelhança por SSS. Conclusão: a proporcionalidade de todos os pares de lados é condição necessária e suficiente para semelhança dos triângulos.

Explicação

A resposta apresenta uma demonstração rigorosa que utiliza a definição de semelhança de triângulos, mostrando que a proporcionalidade dos lados implica na semelhança. Além disso, a construção de um triângulo escalonado ilustra visualmente como a relação de proporcionalidade leva à congruência, reforçando a conclusão. A menção à condição SSS (lados proporcionais) também valida a relação entre as duas propriedades, confirmando a equivalência.

Raio-X da questão

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