Em ?ABC, ?C = 90°. A altura de C sobre a hipotenusa AB encontra-a em H. (a) Prove que AH = AC²/AB, BH = BC²/AB…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em ?ABC, ?C = 90°. A altura de C sobre a hipotenusa AB encontra-a em H. (a) Prove que AH = AC²/AB, BH = BC²/AB e CH = (AC·BC)/AB. (b) Calcule AH, BH, CH e o raio R da circunferência circunscrita sabendo AC = 5v2 e BC = 5v6.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
(a) Pelas semelhanças ?ACH ~ ?CAB e ?BCH ~ ?CBA: AC/AB = AH/AC ? AH = AC²/AB; BC/AB = BH/BC ? BH = BC²/AB. Como CH² = AH·BH, tem-se CH = v(AH·BH) = (AC·BC)/AB. (b) Calcule AB = v(AC²+BC²)=v(50+150)=v200=10v2. AH = AC²/AB = 50/(10v2)=5/v2 = (5v2)/2. BH = 150/(10v2)=15/v2 = (15v2)/2. CH = (AC·BC)/AB = (5v2·5v6)/(10v2) = (5v6)/2. Raio R = AB/2 = 5v2.
Explicação
A solução utiliza as propriedades de semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os segmentos AH, BH e CH em função dos lados do triângulo. Além disso, a aplicação do Teorema de Pitágoras permite calcular o comprimento da hipotenusa AB e, consequentemente, os valores de AH, BH e CH, assim como o raio da circunferência circunscrita. A resposta demonstra uma compreensão clara das relações geométricas e das fórmulas envolvidas no problema.
Raio-X da questão
altura em triângulo retângulo
avaliacao
propriedades de triângulos retângulos · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades de triângulos retângulos e circunferências circunscritas.
O aluno pode confundir as relações entre os segmentos AH, BH e CH, aplicando incorretamente as fórmulas para calcular as alturas.
ciencia_tecnologia
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