Descreva o procedimento com régua e compasso para construir a mediatriz do segmento AB e a bissetriz interna…

Questão

Descreva o procedimento com régua e compasso para construir a mediatriz do segmento AB e a bissetriz interna do ângulo A de um triângulo ABC. Em seguida, para A(1,1), B(5,2) e C(2,6): (a) determine analiticamente a equação da mediatriz de AB; (b) determine analiticamente a equação aproximada da bissetriz interna do ângulo A; (c) calcule as coordenadas do ponto de interseção entre essas retas e interprete geometricamente esse ponto.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Construção (régua e compasso): para a mediatriz de AB marcar arcos de mesmo raio com centros em A e B; a interseção dos arcos determina dois pontos; traçar a reta que passa por eles. Para a bissetriz interna de ?A traçar arcos com centro em A que cortem os lados AB e AC em dois pontos; com centros nesses pontos traçar arcos congruentes que se intersectam; unir A ao ponto de interseção desses arcos. Cálculo analítico: AB = (4,1), ponto médio M = ((1+5)/2,(1+2)/2) = (3,1.5). Coeficiente angular de AB = (2-1)/(5-1)=1/4, assim a mediatriz tem coeficiente -4 e passa por M: y-1.5 = -4(x-3) ? y = -4x + 13.5. Para a bissetriz em A: vetores AB=(4,1), AC=(1,5); unidades uAB=(4/v17,1/v17), uAC=(1/v26,5/v26); direção da bissetriz é u = uAB+uAC ˜ (1.16626,1.22312), pente ˜1.0494. Reta da bissetriz: y-1 = 1.0494(x-1) ? y ˜ 1.0494x -0.0494. Interseção: resolver -4x+13.5 = 1.0494x -0.0494 ? x ˜ 2.6827; y ˜ 2.7692. Interpretação: o ponto é equidistante de A e B (pertence à mediatriz de AB) e equidistante das semirretas AB e AC (pertence à bissetriz interna de ?A); portanto é o ponto que satisfaz simultaneamente essas condições (lugar geométrico interseção).

Explicação

A construção da mediatriz e da bissetriz interna é realizada por procedimentos geométricos que garantem a precisão dos pontos e retas desejadas. O cálculo analítico fornece as equações das retas, permitindo encontrar a interseção, que representa um ponto que equidista dos segmentos e semirretas relevantes. Essa interseção é importante pois demonstra a relação geométrica entre as construções e as propriedades dos triângulos.

Raio-X da questão

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