Em um círculo de centro O, duas retas paralelas r e s interceptam a circunferência em A,B (na reta r) e C,D…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um círculo de centro O, duas retas paralelas r e s interceptam a circunferência em A,B (na reta r) e C,D (na reta s), na ordem A,B,C,D ao percorrer a circunferência. Os arcos menores AB e CD têm medidas 2x+40° e 3x-10°, respectivamente. Prove que arcos interceptados por cordas paralelas são congruentes; então encontre x e determine as medidas dos arcos e do ângulo inscrito que subtende AB.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Prova (modelo): Seja AB e CD cordas paralelas de um mesmo círculo. Tome um ponto P na circunferência entre as cordas; os ângulos inscritos ?APB e ?CPD interceptam os arcos AB e CD. Como AB ? CD, as retas que formam esses ângulos são transversais que geram ângulos correspondentes ou alternos congruentes, logo ?APB = ?CPD. Dois ângulos inscritos congruentes interceptam arcos congruentes; portanto os arcos AB e CD têm mesma medida, isto é, 2x+40 = 3x-10. Resolvendo: 2x+40=3x-10 ? x=50. As medidas dos arcos: 2·50+40 = 140° e 3·50-10 = 140°. O ângulo inscrito que subtende AB mede metade do arco: 140°/2 = 70°. Conclusão: os arcos são congruentes por cordas paralelas; x=50; arcos = 140°; ângulo inscrito = 70°.
Explicação
Os arcos interceptados por cordas paralelas são congruentes devido à propriedade dos ângulos inscritos, que afirma que ângulos iguais interceptam arcos de mesma medida. Ao igualar as expressões dos arcos e resolver a equação, encontramos o valor de x e as medidas dos arcos. A medida do ângulo inscrito que subtende o arco é sempre a metade da medida do arco correspondente.
Raio-X da questão
arcos congruentes
avaliacao
propriedades de arcos em círculos · teorema das cordas paralelas
Revisar propriedades de arcos e ângulos em círculos.
O aluno pode confundir a relação entre os arcos e aplicar incorretamente as propriedades dos ângulos inscritos, levando a um valor de x incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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