Matemática3ª sérieMédia⏱ medio

Imagine que um gnômon foi colocado em um parque e a sombra projetada tem 1,5 m ao meio-dia. Se a altura do…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Questão

Imagine que um gnômon foi colocado em um parque e a sombra projetada tem 1,5 m ao meio-dia. Se a altura do gnômon é de 2 m, qual é o ângulo formado entre o solo e a parte superior do gnômon?

A) 45°
B) 30°
C) 53,13°
D) 60°
E) 70°

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Identifique o triângulo retângulo formado pelo gnômon (altura vertical de 2 m), pela sombra no solo (1,5 m) e pela reta que liga a extremidade da sombra ao topo do gnômon. O ângulo pedido é o que essa reta forma com o solo, na extremidade da sombra.
No triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo é a altura do gnômon (2 m) e o cateto adjacente é a sombra (1,5 m).
Calcule a tangente do ângulo: tan(θ) = cateto oposto / cateto adjacente = 2 / 1,5 = 4/3, que é aproximadamente 1,333.
Calcule o arco tangente: θ = arctan(4/3), que é aproximadamente 53,13°.
Compare com as alternativas. A alternativa C (53,13°) é a correta e coincide com o gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas: A (45°) só seria obtida se a sombra fosse igual à altura; B (30°) não corresponde à razão entre os catetos dados; D (60°) corresponderia a uma sombra de cerca de 1,15 m; E (70°) é um ângulo mais inclinado do que a razão 2/1,5 permite.

💡 Dica: Utilize a tangente do ângulo para resolver a questão.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

Supôs que, por a sombra e a altura serem números próximos, o triângulo seria isósceles e o ângulo seria de 45°, sem verificar a razão entre os catetos.

Por que engana: Confundir a relação entre a altura do gnômon e o comprimento da sombra, aplicando a razão errada para calcular o ângulo.

B Erradaerro: Procedimental

Tomou a razão entre os dados de forma incorreta (por exemplo, usando 1/2 ou 1,5/2 como seno) e converteu esse valor diretamente em ângulo, sem usar a tangente.

C Correta

Cálculo correto utilizando a tangente.

D Erradaerro: Procedimental

Confundiu a relação trigonométrica e associou a inclinação a um ângulo notável comum (60°), sem calcular a tangente real de 2/1,5.

E Erradaerro: Senso comum

Acreditou que, como o gnômon é alto em relação à sombra, o ângulo deveria ser bem fechado e escolheu um valor estimado por intuição, sem fazer o cálculo.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

ângulo de elevação

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

trigonometria básica · razão trigonométrica

📚 Reveja

Revisar a relação entre ângulos e tangentes em triângulos retângulos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a relação entre a altura do gnômon e o comprimento da sombra, aplicando a razão errada para calcular o ângulo.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cotidiano

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