Em uma competição de dança, os dançarinos devem se posicionar em um formato circular. Se cada posição forma um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer ângulos retos e não retos em figuras poligonais com o uso de dobraduras, esquadros ou softwares de geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma competição de dança, os dançarinos devem se posicionar em um formato circular. Se cada posição forma um ângulo de 72°, como calcular a altura do triângulo formado pelo centro e dois pontos na circunferência? O resultado pode ser irracional? Explique como isso se dá.
- A) Sim, a altura pode ser irracional.
- B) Não, sempre racionais.
- C) Depende do ângulo formado.
- D) Somente se o raio for inteiro.
- E) Não, só números inteiros.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Os dois pontos na circunferência e o centro O formam um triângulo isósceles, pois os dois lados OA e OB são raios, de medida r. O ângulo central AOB mede 72°. Passo 2: Traçando a altura h a partir de O até a corda AB, essa altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos e também divide o ângulo central ao meio, formando um ângulo de 36° no centro. Passo 3: No triângulo retângulo, cos 36° = h / r, logo h = r cos 36°. Passo 4: O valor exato de cos 36° é (1 + raiz de 5) / 4, que é um número irracional. Por exemplo, para r = 4, temos h = 1 + raiz de 5, que é irracional. Passo 5: Portanto a altura pode ser irracional, e a alternativa A está correta, concordando com o gabarito oficial. Em geral, h = r(1 + raiz de 5)/4 é irracional sempre que r for um racional não nulo. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa B afirma que tudo é racional, mas cos 36° não é racional; a alternativa C diz que depende do ângulo, mas para o ângulo de 72° o resultado é irracional quando o raio é racional; a alternativa D exige raio inteiro, mas a irracionalidade vem do cosseno e não do valor do raio; a alternativa E diz que só existem inteiros, o que contraria o cálculo acima.
💡 Dica: Considere as propriedades dos triângulos e a relação entre ângulos e alturas.
Alternativa por alternativa
Alturas em triângulos podem resultar em números irracionais.
O aluno supõe que, como o ângulo e o raio são números simples, todas as medidas do triângulo também serão racionais. Não percebe que os valores de seno e cosseno de 36° são irracionais.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre ângulos e a altura do triângulo, acreditando que a altura deve ser sempre um número inteiro.
O aluno acredita que a racionalidade do resultado depende de qual ângulo é usado, sem perceber que, para 72°, o cosseno de 36° é sempre irracional e o resultado depende apenas da estrutura do cálculo.
O aluno associa a irracionalidade ao raio, achando que só um raio inteiro produziria um resultado racional. Na verdade, a irracionalidade vem do cosseno de 36°, qualquer que seja o raio.
O aluno acredita que medidas geométricas de um triângulo inscrito em uma circunferência devem ser sempre números inteiros, confundindo o resultado de um cálculo trigonométrico com contagem de objetos.
Raio-X da questão
triângulo e ângulos
avaliacao
propriedades dos triângulos · cálculo de ângulos
Revisar as propriedades dos triângulos e como calcular alturas.
O aluno pode confundir a relação entre ângulos e a altura do triângulo, acreditando que a altura deve ser sempre um número inteiro.
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