Lucro máximo: como encontrar xv e yv na função quadrática

Quando trabalho função quadrática com situações de lucro, percebo que a dificuldade nem sempre está na fórmula: muitos estudantes confundem a quantidade que maximiza o lucro com o próprio valor do lucro. Eu costumo separar as duas perguntas no quadro: quantas unidades produzem o máximo? e qual é esse máximo? A primeira resposta é xv, a coordenada horizontal do vértice; a segunda é yv, a coordenada vertical.

Essa distinção transforma uma conta abstrata em uma interpretação que faz sentido. Em modelos com parábola voltada para baixo, o vértice indica o ponto de lucro máximo. A seguir, reúno uma explicação prática e seis questões comentadas para ajudar a planejar uma aula ou revisar o assunto.

O que significam xv e yv no problema de lucro máximo?

Em uma função quadrática de lucro escrita como L(x)=ax²+bx+c, xv é a quantidade de itens que leva ao lucro máximo e yv é o valor desse lucro, desde que a parábola tenha concavidade para baixo, isto é, a seja negativo. As coordenadas do vértice são calculadas por xv=-b/(2a) e yv=L(xv), substituindo xv na função. Por exemplo, se L(x)=-5x²+150x-1000, então xv=15 e L(15)=125: o modelo prevê lucro máximo de 125 unidades monetárias ao vender 15 itens. É importante conferir as unidades do enunciado; se x representa dezenas de produtos ou L está em centenas de reais, a interpretação precisa respeitar essa escala. Assim, xv responde “quanto produzir ou vender?” e yv responde “qual lucro máximo o modelo prevê?”.

Eu reforço que o cálculo depende do contexto. Se a variável representa dezenas de copos, xv=6 significa 60 copos, não seis. Se o lucro está em centenas de reais, yv=200 equivale a R$ 20.000. Ler as unidades antes de operar evita respostas numericamente corretas, mas contextualizadas de forma errada.

Como calcular o vértice de uma função de lucro?

Para calcular o ponto de lucro máximo, primeiro identifico os coeficientes a e b na expressão L(x)=ax²+bx+c; depois verifico se a<0, condição para a parábola abrir para baixo e ter máximo. Calculo xv=-b/(2a) e substituo esse resultado na expressão original para encontrar yv. Por exemplo, em L(x)=-2x²+40x, temos a=-2 e b=40; portanto, xv=10 e L(10)=200, logo o vértice é (10,200). Esse par ordenado informa tanto a quantidade que maximiza o lucro quanto o valor máximo. Também posso reconhecer a forma de vértice, L(x)=a(x-h)²+k, na qual o vértice é (h,k). Antes de fechar a resposta, confiro sinais, unidades e se a quantidade encontrada pertence ao intervalo permitido pelo problema.

Na prática, peço aos estudantes que escrevam a substituição, em vez de saltarem direto ao resultado. Esse registro deixa visível onde pode surgir um erro de sinal. Se o modelo restringe x a um intervalo, como descontos inteiros entre 0 e 12, também verifico se xv está dentro dele. Caso não esteja, comparo os valores nos extremos permitidos.

Como ensinar a diferença entre a quantidade e o lucro máximo?

Eu ensino a diferença entre xv e yv com uma tabela de duas colunas: “quantidade” e “lucro previsto”. Primeiro, a turma encontra xv pela fórmula; em seguida, substitui esse valor na função para obter yv. Com L(x)=-x²+12x-20, por exemplo, xv=6 dezenas de copos e L(6)=16, então o modelo prevê lucro de 16 reais na escala indicada. A pergunta “em que quantidade?” pede xv; “qual é o lucro máximo?” pede yv; e “quais são as coordenadas do vértice?” pede os dois, na ordem (xv,yv). Também comparo o cálculo com o gráfico: uma parábola com concavidade para baixo tem o ponto mais alto no vértice. Essa checagem visual ajuda a perceber respostas incompatíveis, como um máximo abaixo de pontos vizinhos.

Para organizar a prática, sigo uma sequência curta:

• Identificar o que x representa e em que unidade está L.
• Calcular xv e registrar a quantidade correspondente.
• Substituir xv na expressão para determinar yv.
• Interpretar o par ordenado e conferir a concavidade.

Quando preparo listas variadas, uso o GeraProva para montar questões por habilidade e revisar alternativas. A plataforma pode poupar tempo de elaboração, enquanto eu seleciono os itens que melhor conversam com o ritmo da turma.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo trabalham diferentes leituras do vértice: reconhecer a forma algébrica, encontrar a quantidade ótima e interpretar as coordenadas em situações contextualizadas. Em cada item, vale pedir que a turma explique não só qual alternativa escolheu, mas também por que os distratores parecem plausíveis. Esse procedimento revela confusões recorrentes entre raízes, coeficientes e coordenadas do vértice. Os registros pedagógicos incluem habilidade BNCC, nível de Bloom, dica de resolução e conceito central, informações úteis para planejar uma retomada ou variar a dificuldade da avaliação. Eu recomendo que os estudantes tentem resolver antes de consultar os comentários e, depois, comparem suas estratégias. Assim, as questões servem tanto para avaliação quanto para diagnóstico de aprendizagem.

1. Qual é a forma de vértice do lucro da gráfica?

Uma gráfica tem raízes em x=0 e x=20 e vértice (10,200), com lucro medido em centenas de reais. Determine L(x) na forma de vértice.

• ❌ A) -2(x+10)²+200 — desloca o vértice para x=-10, em vez de x=10.
• ❌ B) -2x²+40x — é equivalente, mas não está na forma de vértice solicitada.
• ❌ C) -2(x-10)²-200 — usa yv=-200, contrariando o vértice informado.
• ✅ D) -2(x-10)²+200 — usa (h,k)=(10,200); a=-2, compatível com as raízes e a concavidade para baixo.
• ❌ E) 2(x-10)²+200 — coeficiente positivo abre a parábola para cima.

Dica de resolução: Use L(x)=a(x-h)²+k e substitua o ponto (0,0) para encontrar a=-2. Conceito central: função quadrática na forma de vértice. Revisão: representação algébrica e parábola. BNCC: EM13MAT402. Bloom: Lembrar.

2. Quantas cadeiras maximizam o lucro da marcenaria?

Para L(x)=-5x²+300x-2000, determine a quantidade de cadeiras que maximiza o lucro diário.

• ❌ A) 10 cadeiras — confunde uma raiz da função com a abscissa do vértice.
• ❌ B) 60 cadeiras — usa -b/a e duplica o resultado correto.
• ❌ C) 15 cadeiras — divide indevidamente o valor do vértice pela metade.
• ✅ D) 30 cadeiras — xv=-300/[2(-5)]=30; como a<0, o vértice é máximo.
• ❌ E) 40 cadeiras — resulta de erro aritmético e não da fórmula do vértice.

Dica de resolução: Calcule xv=-b/(2a). Conceito central: função quadrática e máximo lucro. Revisão: cálculo do vértice. BNCC: EM13MAT503. Bloom: Entender.

3. Em que quantidade de dezenas de copos ocorre o máximo?

O lucro é L(x)=-x²+12x-20, em que x representa dezenas de copos. Identifique a quantidade que maximiza o lucro.

• ❌ A) 12 dezenas — repete o coeficiente linear, não calcula xv.
• ❌ B) -6 dezenas — mantém o sinal errado na fórmula do vértice.
• ✅ C) 6 dezenas — xv=-12/[2(-1)]=6; a concavidade para baixo confirma o máximo.
• ❌ D) 3 dezenas — divide o resultado correto por dois sem justificativa.
• ❌ E) 20 dezenas — confunde o termo constante com a quantidade ótima.

Dica de resolução: Encontre o vértice e interprete x na unidade “dezenas”. Conceito central: função quadrática e lucro máximo. Revisão: vértice. BNCC: EM13MAT503. Bloom: Entender.

4. Quais são as coordenadas do vértice no modelo do teatro?

O lucro da companhia é L(x)=-2x²+40x, em centenas de reais, e x representa dezenas de ingressos. Determine o vértice.

• ❌ A) (20,400) — duplica as coordenadas calculadas.
• ✅ B) (10,200) — xv=10 e L(10)=-2(100)+400=200.
• ❌ C) (5,100) — erra a fórmula de xv e não obtém o ponto correto.
• ❌ D) (10,-200) — troca o sinal do lucro, que é positivo.
• ❌ E) (-10,200) — erra o sinal da abscissa do vértice.

Dica de resolução: Calcule xv e substitua na função para obter yv. Conceito central: vértice da parábola. Revisão: cálculo e interpretação do vértice. BNCC: EM13MAT302. Bloom: Analisar.

5. Qual é o lucro máximo do confeiteiro?

Para L(x)=-5x²+150x-1000, determine as coordenadas do vértice, que indicam quantidade de bolos e lucro máximo.

• ❌ A) (30,125) — dobra indevidamente xv; o valor correto é 15.
• ✅ B) (15,125) — xv=15 e L(15)=-1125+2250-1000=125.
• ❌ C) (15,-1000) — confunde yv com o termo constante c.
• ❌ D) (15,-125) — inverte o sinal do lucro obtido por substituição.
• ❌ E) (-15,125) — atribui sinal negativo à abscissa calculada.

Dica de resolução: Use xv=-b/(2a) e avalie L(15). Conceito central: vértice da parábola. Revisão: cálculo do vértice e interpretação gráfica. BNCC: EM13MAT302. Bloom: Aplicar.

6. Qual desconto maximiza o lucro da livraria?

O modelo é L(d)=-4d²+48d+360, para descontos inteiros entre R$ 0 e R$ 12. Determine o desconto que maximiza o lucro previsto.

• ❌ A) R$ 12 — usa 48/4 e ignora o fator 2 da fórmula.
• ❌ B) R$ 24 — divide o coeficiente linear sem considerar a.
• ❌ C) R$ 48 — confunde o coeficiente linear com o desconto ótimo.
• ❌ D) R$ 0 — escolhe um extremo sem comparar com o vértice interno.
• ✅ E) R$ 6 — d=-48/[2(-4)]=6, dentro do intervalo permitido.

Dica de resolução: Calcule o vértice e confira se d pertence ao intervalo indicado. Conceito central: máximo de função quadrática. Revisão: cálculo do vértice. BNCC: EM13MAT503. Bloom: Aplicar.

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Os modelos de lucro são exemplos matemáticos e não substituem uma análise financeira real. Se fizer sentido para sua turma, teste o GeraProva para preparar questões e adaptar a prática ao que seus estudantes precisam revisar.