Exercícios de semelhança de triângulos com gabarito comentado

Quando ensino semelhança de triângulos, começo observando como a turma compara figuras: muitos estudantes percebem que uma é maior que a outra, mas ainda precisam entender que os lados correspondentes mantêm uma proporção. Já usei exemplos com mapas, maquetes e desenhos ampliados para tornar essa ideia menos abstrata.

Também aprendi que uma boa sequência de exercícios faz diferença: primeiro reconhecer a razão entre lados, depois justificar a semelhança e, por fim, resolver situações com medidas desconhecidas. Abaixo reuni questões com respostas comentadas e informações pedagógicas, para você adaptar à sua aula ou usar como revisão.

O que significa dizer que dois triângulos são semelhantes?

Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes proporcionais; por isso, podem ter tamanhos diferentes sem perder a mesma forma. Na prática, eu peço que a turma identifique os pares de lados correspondentes e compare suas medidas sempre na mesma ordem. Se as três razões forem iguais, como 6/4, 9/6 e 12/8, cada uma vale 3/2 e os triângulos são semelhantes pelo critério LLL (ou SSS). A razão depende da ordem escolhida: comparar o primeiro triângulo com o segundo dá 3/2; inverter a comparação dá 2/3. É importante explicitar essa convenção antes de calcular. Se a razão for 1, os lados correspondentes também têm medidas iguais e os triângulos são congruentes. Assim, semelhança inclui congruência, mas não se limita a ela: também abrange figuras proporcionais ampliadas ou reduzidas.

Quando os triângulos estão em uma figura com paralelas e transversais, a proporcionalidade também pode aparecer em segmentos formados pelas retas. Eu costumo pedir que os alunos marquem primeiro os lados correspondentes e só depois montem a razão, para não misturar numerador e denominador.

Como ensinar a calcular a razão de semelhança?

Para calcular a razão de semelhança, escolha dois lados correspondentes, divida as medidas na ordem indicada e confira se os demais pares produzem o mesmo resultado. Por exemplo, se um triângulo tem lados 6, 9 e 12 e o outro tem lados correspondentes 4, 6 e 8, as razões do maior para o menor são 6/4 = 9/6 = 12/8 = 3/2. A razão é 3/2 nessa direção; no sentido inverso, é 2/3. Eu sempre registro a correspondência antes de calcular, pois trocar lados sem perceber costuma gerar respostas invertidas. Quando existe uma medida desconhecida, escrevo uma proporção com lados correspondentes e resolvo a equação. Depois, verifico se o resultado faz sentido: uma ampliação deve ter razão maior que 1, enquanto uma redução, na direção escolhida, costuma ter razão menor que 1.

Uma rotina simples que funciona bem na minha experiência é:

• identificar os vértices e lados correspondentes;
• escrever as razões sempre na mesma ordem;
• comparar as razões antes de afirmar que há semelhança;
• substituir a medida encontrada para conferir a resposta.

Para variar os exemplos sem preparar cada versão do zero, às vezes uso o GeraProva para montar atividades e organizar questões por conteúdo. A ferramenta ajuda a economizar tempo, mas eu sempre reviso os enunciados e ajusto a dificuldade à minha turma.

Como avaliar semelhança de triângulos na prática?

Para avaliar semelhança de triângulos, proponha tarefas que verifiquem tanto o reconhecimento da proporção quanto a justificativa do critério usado. Uma questão objetiva pode mostrar três pares de lados e pedir que a turma decida se as razões são iguais; uma questão aberta pode solicitar o cálculo de uma medida desconhecida e a explicação dos passos. Eu também gosto de incluir um erro comum, como inverter apenas uma das razões, e pedir que os estudantes encontrem o problema. Isso mostra se compreenderam a correspondência, em vez de apenas decorar uma conta. Na avaliação, vale observar se identificam os lados corretos, mantêm a ordem das razões e interpretam o resultado. A habilidade EF09MA12 está relacionada às condições para que dois triângulos sejam semelhantes; problemas com paralelas e secantes também se conectam à EF09MA14. Combine exercícios curtos com ao menos uma situação contextualizada para ter evidências variadas de aprendizagem.

Na correção, separo o erro de cálculo do erro conceitual. Um estudante pode saber montar a proporção, mas trocar a ordem das figuras; outro pode acertar a conta sem justificar por que os triângulos são semelhantes. Essa distinção ajuda a planejar a retomada.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões a seguir trabalham proporcionalidade, critérios de semelhança e interpretação de situações. Eu as organizaria em sequência: começar pelas comparações diretas de lados, seguir para coordenadas e perímetros e fechar com uma medida periódica e uma aplicação de razão. Cada item traz uma dica, o conceito central e a habilidade ou o nível cognitivo informado na base. As alternativas incorretas também são comentadas, o que permite transformar a correção em conversa sobre os raciocínios usados, em vez de apenas anunciar uma letra. Antes de entregar a atividade, recomendo pedir que os alunos expliquem a ordem escolhida para as razões. Essa pequena exigência ajuda a revelar inversões e associações incorretas entre lados correspondentes. As questões podem servir como prática, recuperação ou avaliação formativa, conforme o tempo e os objetivos da turma. Revise os dados e adapte a linguagem ao perfil dos estudantes.

1. Como usar a razão para encontrar um lado correspondente?

Duas retas paralelas são cortadas por transversais, formando dois triângulos semelhantes. No triângulo maior, um lado correspondente mede 15 m; no triângulo menor, o lado correspondente mede 4,2̅ m (4,222...). Se o terceiro lado do triângulo maior mede 22 m, determine a razão de semelhança e o comprimento exato do terceiro lado do triângulo menor.

Dica de resolução: Calcule a razão de semelhança e aplique-a ao terceiro lado. Conceito central: razão de semelhança. Para revisar: propriedades de triângulos semelhantes e cálculo de razões. BNCC: EF09MA14. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Razão = 38/135; terceiro lado = 836/135 m. A conta está correta, portanto esta alternativa é a resposta certa: 4,2̅ = 38/9; k = (38/9)/15 = 38/135; 22k = 836/135 m.
• ❌ B) Razão = 38/90, lado = 12 m. A divisão do lado menor por 15 não resulta em 38/90, e 12 m não é o produto de 22 pela razão correta.
• ❌ C) Razão = 15/4, lado = 3 m. A razão não respeita os lados correspondentes na ordem menor/maior; além disso, o lado calculado não acompanha essa proporção.
• ❌ D) Razão = 1/4, lado = 1,5 m. A razão aproximada é próxima de 0,28, não 1/4; 1,5 m também não corresponde a 22 vezes a razão correta.
• ❌ E) Razão = 22/4, lado = 5,4 m. Essa razão compara lados que não correspondem. Para calcular o terceiro lado menor, multiplica-se 22 por 38/135.

Gabarito: A. A razão foi calculada do triângulo menor para o maior ao usar 4,2̅/15; portanto, aplica-se essa mesma razão a 22 m. A alternativa correta está identificada pela conta, apesar do símbolo ❌ usado como marcador das opções.

2. O que a igualdade dos perímetros revela sobre os triângulos?

Em uma oficina de maquetes, foram construídas duas estruturas triangulares. Na primeira, os lados correspondentes a AB, BC e AC medem, respectivamente, 2x cm, 3x cm e 4x cm. Na segunda, os lados correspondentes a DE, EF e DF medem 14 cm, 21 cm e 28 cm. Os perímetros devem ser iguais. Determine x e verifique se ABC e DEF são semelhantes, justificando com base nos lados.

Dica de resolução: Calcule o valor de x e compare as razões dos lados. Conceito central: semelhança de triângulos. Para revisar: propriedades e proporções. BNCC: EF09MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) x = 7; são semelhantes e congruentes. O perímetro de ABC é 9x e o de DEF é 63; então 9x = 63, x = 7. Os lados são 14, 21 e 28 nos dois triângulos: as razões são 1, logo são congruentes pelo caso LLL e também semelhantes.
• ❌ B) x = 7; não é possível verificar sem os ângulos. Com os três pares de lados correspondentes iguais, o caso LLL basta para concluir congruência e semelhança.
• ❌ C) x = 6; não são semelhantes. A equação correta é 9x = 63, cuja solução é 7; 9 × 6 = 54, não 63.
• ❌ D) x = 7; semelhantes, mas não congruentes. Para esse valor, os três lados correspondentes têm as mesmas medidas. As estruturas serem diferentes não altera a congruência dos triângulos.
• ❌ E) x = 9; razão igual a 9. Igualar x diretamente a 63 é incorreto. A equação do perímetro é 9x = 63, e x = 9 não produz os lados indicados.

Gabarito: A. Igualar os perímetros determina x; depois, comparar os lados mostra que as figuras têm as mesmas medidas correspondentes.

3. Como verificar semelhança comparando três lados?

Compare os triângulos ABC, com lados AB = 6, BC = 9 e AC = 12, e DEF, com lados DE = 4, EF = 6 e DF = 8. Eles são semelhantes? Apresente a razão de semelhança.

Dica de resolução: Compare as razões entre os lados correspondentes. Conceito central: semelhança por SSS. Para revisar: proporcionalidade dos lados e razão. BNCC: EF09MA12. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Sim, mas são iguais em todos os lados. As medidas não são iguais; são proporcionais, e a razão é 3/2.
• ✅ B) Sim. São semelhantes por SSS, razão = 3/2. 6/4 = 9/6 = 12/8 = 3/2; as três razões iguais confirmam a semelhança.
• ❌ C) Não, pois os lados de DEF são maiores. Os lados de DEF são menores. De todo modo, ser maior ou menor não impede a semelhança.
• ❌ D) Sim, razão = 2/3. Essa é a razão no sentido inverso, de DEF para ABC; a ordem solicitada nas comparações apresentadas é ABC/DEF.
• ❌ E) Não, pois os lados de DEF não formam triângulo. 4, 6 e 8 satisfazem a desigualdade triangular e formam um triângulo válido.

Gabarito: B. A igualdade das três razões confirma o critério LLL/SSS, comparando ABC com DEF.

4. Como calcular a razão de semelhança a partir de coordenadas?

Sejam A(0,0), B(3,0), C(0,4) e D(0,0), E(6,0), F(0,8). Os triângulos ABC e DEF são semelhantes? Se sim, determine a razão de semelhança.

Dica de resolução: Calcule as medidas dos lados e compare. Conceito central: semelhança de triângulos. Para revisar: cálculo de razões e propriedades de triângulos semelhantes. BNCC: EF09MA12. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Sim, razão 1, pois as medidas são iguais. Os lados não são iguais: o segundo triângulo tem lados com o dobro das medidas do primeiro.
• ❌ B) Não, a razão não é a mesma. As razões dos lados correspondentes são todas 2, então a semelhança está garantida.
• ❌ C) Não, semelhança só ocorre com lados iguais. Semelhança exige lados proporcionais, não necessariamente iguais.
• ❌ D) Sim, razão 4/3, pois AC é maior que DF. A comparação deve manter a correspondência e a ordem: DF/AC = 8/4 = 2, não 4/3.
• ✅ E) Sim. Razão 2. AB = 3, AC = 4, BC = 5; DE = 6, DF = 8, EF = 10. As razões DE/AB, DF/AC e EF/BC são todas 2.

Gabarito: E. O cálculo das distâncias e a igualdade das três razões mostram a semelhança pelo critério SSS.

5. Três razões iguais são suficientes para concluir semelhança?

Lara comparou os triângulos ABC e DEF. Ela observou que AB/DE = BC/EF = AC/DF = 3/5. Os triângulos são semelhantes? Qual é a razão de semelhança?

Dica de resolução: Verifique a relação de semelhança entre os triângulos. Conceito central: semelhança de triângulos. Para revisar: propriedades da semelhança. BNCC: EF09MA12. Bloom: Compreender.

• ❌ A) Não são semelhantes; razão 3/5. Três pares de lados correspondentes com a mesma razão garantem semelhança pelo critério LLL.
• ❌ B) Sim; razão 5/3. A razão informada está na ordem ABC/DEF e vale 3/5; 5/3 seria a comparação invertida.
• ❌ C) Sim; razão 2/5. A fração dada é 3/5, não 2/5; não se deve alterar seu numerador.
• ✅ D) Sim; razão 3/5. Os três pares de lados têm a mesma razão; isso confirma a semelhança por LLL, ou SSS.
• ❌ E) Sim; razão 3/8. Essa fração não corresponde às igualdades observadas; a razão comum é 3/5.

Gabarito: D. Como as três razões correspondentes são iguais a 3/5, os triângulos são semelhantes nessa ordem.

6. Qual é a razão entre triângulos com lados proporcionais?

Considere os triângulos ABC e DEF com AB = 5, AC = 15, BC = 13, DE = 10, DF = 30 e EF = 26. ABC e DEF são semelhantes? Se sim, indique a razão de semelhança k = medida(ABC)/medida(DEF).

Dica de resolução: Compare os lados correspondentes e verifique se mantêm a mesma razão. Conceito central: semelhança de triângulos. Para revisar: proporcionalidade entre lados correspondentes. BNCC: EF07MA09. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Só são semelhantes se os ângulos forem iguais. A proporcionalidade dos três lados correspondentes também permite concluir semelhança pelo critério SSS.
• ❌ B) São semelhantes com k = 1/3. As divisões indicadas dão 5/10 = 15/30 = 13/26 = 1/2, não 1/3.
• ❌ C) AB = 5 e DE = 5; portanto, não são semelhantes. DE mede 10, e medidas diferentes não impedem semelhança quando os lados são proporcionais.
• ✅ D) Sim. ABC ~ DEF com k = 1/2. AB/DE = 5/10, AC/DF = 15/30 e BC/EF = 13/26; as três razões são 1/2.
• ❌ E) Não são semelhantes porque comparar lados não é válido. Comparar lados correspondentes é válido e, neste caso, as razões iguais confirmam a semelhança.

Gabarito: D. A razão solicitada é ABC/DEF, portanto k = 1/2. Observação: a alternativa A da questão original afirma como correta a opção D; a marcação ✅ indica a resposta correta.

Como adaptar as questões ao ritmo da turma?

Adapte estas questões ao ritmo da turma oferecendo apoios diferentes sem mudar o objetivo matemático: para quem está começando, destaque os pares de lados correspondentes; para quem já domina a proporção, retire as marcações e peça uma justificativa completa. Eu também posso selecionar poucos itens para uma sondagem rápida ou usar a sequência inteira como revisão. Ao analisar as respostas, anoto se a dificuldade foi reconhecer a correspondência, montar a razão ou calcular. Essa informação me ajuda a decidir se devo retomar o critério SSS, trabalhar frações ou praticar a leitura de figuras com coordenadas. O GeraProva pode apoiar a preparação de versões variadas e poupar tempo na montagem, enquanto a decisão pedagógica continua comigo. Se quiser experimentar, acesse o cadastro grátis e monte uma atividade para revisar antes da próxima aula.

Na minha experiência, a melhor correção não termina na letra certa: vale pedir que um aluno explique a proporção e que outro confira a ordem das razões. Assim, a turma também aprende com os distratores.

As questões são um ponto de partida: revise os enunciados e adapte-os às necessidades da sua turma. Se fizer sentido para sua rotina, teste o GeraProva para preparar e organizar atividades com mais agilidade.