Diretamente proporcional: exercícios resolvidos e comentados

Quando trabalho proporcionalidade com uma turma, percebo que muitos estudantes decoram a regra de três antes de entender o que as grandezas estão dizendo. Eu prefiro começar com exemplos concretos: se cada pacote tem cinco sementes, dobrar os pacotes dobra também a quantidade de sementes. A partir daí, o gráfico e os cálculos deixam de parecer regras soltas.

Também já usei exercícios que misturam proporcionalidade direta, inversa e situações que não são proporcionais. Essa comparação ajuda a identificar erros de raciocínio, não apenas de conta. Separei seis questões comentadas para você adaptar à sua aula, com conceitos, dicas e habilidades da BNCC.

O que significa duas grandezas serem diretamente proporcionais?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante: em linguagem algébrica, y = kx. Isso significa que, se uma grandeza dobra, a outra também dobra; se triplica, a outra triplica, desde que as condições do problema permaneçam iguais. Outra forma de reconhecer a relação é verificar se o quociente entre os valores correspondentes, y/x, permanece constante. No gráfico, os pontos ficam sobre uma reta que passa pela origem. É importante não confundir “as duas aumentam juntas” com proporcionalidade: altura e peso, por exemplo, podem estar associados, mas não mantêm necessariamente uma razão fixa. Quando preparo uma atividade, combino tabela, expressão e gráfico para que os estudantes expliquem o padrão. No GeraProva, você pode organizar questões por habilidade e variar os contextos sem perder de vista esse critério matemático.

Uma verificação rápida é completar uma tabela e calcular a razão entre os valores correspondentes. Se uma quantidade de 2 unidades corresponde a 10, e 4 corresponde a 20, a razão é 5 nos dois casos. Isso sugere a expressão y = 5x.

• Proporcionalidade direta: a razão entre as grandezas é constante.
• Proporcionalidade inversa: o produto entre as grandezas é constante.
• Não proporcionalidade: não há uma razão ou produto constante que descreva a relação.

Como identificar a proporcionalidade direta em um gráfico?

Para identificar proporcionalidade direta em um gráfico, verifico duas condições: os pontos devem estar alinhados em uma reta e essa reta deve passar pela origem, o ponto (0, 0). A reta representa uma taxa constante: para cada aumento igual na variável independente, a outra cresce sempre na mesma razão. Mas o desenho, sozinho, pode enganar; por isso, também comparo os dados da tabela e calculo o quociente entre os valores correspondentes. Se esse quociente for constante e a situação fizer sentido quando uma grandeza vale zero, há bons indícios de proporcionalidade direta. Uma reta que não passa pela origem pode descrever uma relação linear, mas não é proporcionalidade direta. Ao ensinar, eu peço que os alunos expliquem o que significa a origem no contexto: zero pacotes, por exemplo, deve corresponder a zero mudas produzidas a partir desses pacotes.

Em uma tabela, o teste da razão costuma ser mais claro que olhar apenas para os números. No gráfico, vale ainda conferir a escala dos eixos: intervalos diferentes podem dar uma impressão visual enganosa. Peça que os alunos justifiquem a resposta com dados, não só com a aparência da linha.

Como diferenciar proporcionalidade direta, inversa e não proporcional?

Para distinguir esses três tipos de relação, eu começo perguntando o que acontece quando uma grandeza aumenta e, em seguida, testo a razão ou o produto dos valores. Na proporcionalidade direta, as grandezas aumentam ou diminuem juntas na mesma proporção, e a razão entre elas permanece constante. Na inversa, uma aumenta enquanto a outra diminui, mantendo constante o produto; por exemplo, com vazão igual, mais torneiras abertas reduzem o tempo para encher um tanque. Já em uma relação não proporcional, não há uma razão nem um produto constante que descreva os dados. Estudar por mais horas pode ajudar, mas não garante uma nota que aumente sempre na mesma proporção. Essa distinção evita aplicar regra de três automaticamente. Para o 9º ano, a habilidade EF09MA08 prevê resolver problemas de proporcionalidade direta e inversa em contextos diversos.

Uma estratégia de sala de aula é pedir uma previsão antes de calcular: “Se eu dobrar uma grandeza, o que acontece com a outra?”. Depois, a turma verifica se os dados confirmam a previsão. Essa conversa revela concepções como a ideia de que toda associação entre duas quantidades é proporcional.

Como usar estes exercícios para avaliar a compreensão?

Eu uso uma sequência que começa com reconhecimento de padrões e termina com a comparação entre situações. Primeiro, peço que os estudantes identifiquem uma expressão a partir do gráfico; depois, que justifiquem uma razão constante; por fim, apresento exemplos que não são proporcionais. Assim, avalio tanto o cálculo quanto a compreensão do conceito. Nas questões abaixo, há itens de diferentes níveis, desde compreender a área de um quadrado até analisar relações físicas e situações cotidianas. Você pode aplicar as seis em uma revisão ou selecionar duas ou três como avaliação formativa. Ao corrigir, observo especialmente a justificativa dos distratores: ela mostra se o estudante confunde crescimento com proporcionalidade. Se quiser preparar uma lista com outros contextos, o GeraProva ajuda a economizar tempo na elaboração; para experimentar a plataforma, há cadastro grátis.

Antes de aplicar, sugiro conferir se o gráfico mencionado no enunciado acompanha o material da sua turma. Quando os dados aparecem descritos nas alternativas ou na explicação, vale acrescentar uma tabela simples para que os alunos possam refazer a leitura visualmente.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões a seguir permitem trabalhar mais de uma habilidade: reconhecer proporcionalidade direta, interpretar gráficos, verificar uma razão constante e perceber quando uma relação não é proporcional. Eu manteria os enunciados e pediria que os alunos registrassem uma justificativa antes de consultar o gabarito, sobretudo nos itens com alternativas plausíveis. Cada questão traz uma dica de resolução, o conceito central e, quando indicado, um tópico para revisão, além do código BNCC e do nível de Bloom. Isso facilita escolher o item de acordo com o objetivo da aula, sem tratar a lista como uma sequência obrigatória. As questões também mostram por que é útil comparar situações: nem toda relação crescente é diretamente proporcional, e reconhecer essa diferença é parte essencial do raciocínio matemático.

1. Área de um quadrado e o lado

Enunciado: Em uma obra, placas quadradas foram testadas para diferentes medidas de lado x. O gráfico mostra a área A obtida em cada caso. Com base nos dados, qual relação representa uma variável diretamente proporcional ao quadrado da outra?

Dica de resolução: Analise o gráfico para identificar a relação entre as variáveis. Conceito central: proporcionalidade direta e área. Conceito para revisão: proporcionalidade direta e cálculo da área de um quadrado. BNCC: EM13MAT402. Bloom: Compreender.

• ❌ A) A = x. Seria uma relação linear; os pontos não cresceriam segundo os quadrados indicados.
• ❌ B) A = 2x. Os valores da área não são o dobro de x em todos os pontos.
• ✅ C) A = x². Correta: para lados 1, 2, 3, 4 e 5, as áreas são 1, 4, 9, 16 e 25.
• ❌ D) A = x² + 1. Para x = 1, essa expressão daria área 2, não 1.
• ❌ E) A = 2x². Essa expressão produziria áreas duas vezes maiores que os valores observados.

2. Temperatura e pressão de um gás

Enunciado: Durante uma aula, o professor apresentou um gráfico que relaciona a temperatura e a pressão de um gás. Sabendo que a pressão é diretamente proporcional à temperatura, como você descreveria a relação observada no gráfico?

Dica de resolução: Analise a relação entre temperatura e pressão no gráfico. Conceito central: pressão e temperatura. Conceito para revisão: relação entre pressão e temperatura de um gás ideal. BNCC: EM13CNT102. Bloom: Analisar.

• ❌ A) A pressão diminui com o aumento da temperatura. Contradiz a relação direta indicada.
• ❌ B) A pressão permanece constante. A pressão varia quando a temperatura varia.
• ✅ C) A pressão aumenta linearmente com a temperatura. Correta: a relação diretamente proporcional é linear.
• ❌ D) A temperatura é inversamente proporcional à pressão. A relação dada é direta, não inversa.
• ❌ E) Não há relação entre pressão e temperatura. O enunciado informa uma relação entre as variáveis.

3. Qual razão confirma a proporcionalidade quadrática?

Enunciado: Uma marcenaria compara a área A de tampos quadrados com o lado l da peça. O gráfico mostra os valores medidos. Com base nos dados, qual razão permanece constante e confirma que A é diretamente proporcional ao quadrado de l?

Dica de resolução: Analise o gráfico para identificar a razão constante entre A e l². Conceito central: proporcionalidade direta quadrática. Conceito para revisão: relação entre área e lado de quadrados. BNCC: EM13MAT402. Bloom: Analisar.

• ❌ A) A/l. Os valores seriam 1, 2, 3, 4 e 5, portanto variariam.
• ❌ B) A − l. Os resultados 0, 2, 6, 12 e 20 não são constantes.
• ❌ C) l/A. A razão diminui, em vez de permanecer constante.
• ✅ D) A/l². Correta: para os dados indicados, A/l² = 1 em todos os casos.
• ❌ E) A²/l. Os valores crescem e não ficam fixos para os lados apresentados.

4. Qual situação representa proporcionalidade inversa?

Enunciado: Compare as situações e identifique aquela que representa proporcionalidade inversa.

Dica de resolução: Analise como uma grandeza varia quando a outra aumenta. Conceito central: proporcionalidade inversa. Conceito para revisão: características da proporcionalidade inversa. BNCC: EF09MA08. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Litros de tinta e área pintada, com mesmo rendimento. Mais área exige mais tinta: relação direta.
• ❌ B) Preço por unidade e quantidade paga, com valor fixo por unidade. Mantido o preço, mais unidades custam mais: relação direta.
• ❌ C) Distância percorrida e combustível gasto, com mesmo consumo. Maior distância tende a exigir mais combustível: relação direta.
• ❌ D) Número de páginas e massa do caderno, com mesmo tipo de papel. Mais páginas aumentam a massa: relação direta.
• ✅ E) Número de torneiras iguais abertas e tempo para encher um tanque. Correta: aumentando a quantidade de torneiras, o tempo diminui na mesma proporção.

5. Altura, peso, horas de estudo e nota

Enunciado: Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa; número de horas de estudo e nota em uma prova.

Dica de resolução: Verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Conceito para revisão: diferencie associação de proporcionalidade. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Altura e peso não proporcionais; horas e nota proporcionais. A primeira parte está correta, mas estudar mais não garante aumento proporcional da nota.
• ❌ B) Ambas diretamente proporcionais. Nenhuma das relações garante aumento sempre na mesma razão.
• ❌ C) Ambas inversamente proporcionais. Não há produto constante que descreva essas relações.
• ✅ D) Ambas não proporcionais. Correta: altura e peso não mantêm razão constante, e horas de estudo não garantem aumento proporcional da nota.
• ❌ E) Altura e peso diretamente proporcionais; horas e nota não proporcionais. A segunda parte está correta, mas altura e peso não mantêm razão constante.

6. Pacotes de sementes e quantidade de mudas

Enunciado: Uma turma registrou a relação entre pacotes de sementes e mudas produzidas: 1 pacote, 5 mudas; 2, 10; 3, 15; 4, 20. Se os dados forem representados em um gráfico, qual característica deve aparecer para indicar proporcionalidade direta?

Dica de resolução: Verifique se os pontos formam reta e passam pela origem. Conceito central: proporcionalidade direta. Conceito para revisão: reta que passa pela origem e razão constante. BNCC: EF05MA12. Bloom: Aplicação.

• ❌ A) Linha curva, porque as mudas aumentam mais rápido a cada pacote. Os dados crescem em razão constante, não de forma acelerada.
• ❌ B) Reta que começa acima da origem, pois já existe uma quantidade inicial. Os dados não indicam mudas iniciais; zero pacotes corresponde a zero mudas.
• ✅ C) Reta que passa pela origem, com razão constante entre pacotes e mudas. Correta: cada pacote corresponde a cinco mudas.
• ❌ D) Pontos espalhados, pois cada pacote produz uma quantidade diferente. A produção por pacote segue um padrão fixo, então os pontos ficam alinhados.
• ❌ E) Reta inclinada sem manter a mesma razão. Uma reta só representa proporcionalidade direta quando a razão é constante e passa pela origem.

Espero que estes exemplos ajudem você a planejar uma revisão mais clara e a ouvir o raciocínio por trás das respostas. As questões são um ponto de partida: adapte os contextos à sua turma e confira os gráficos antes de aplicar. Se quiser experimentar outras combinações, teste o GeraProva sem compromisso e veja se ele facilita sua preparação.