Combinações de letras e dígitos: o erro de esquecer posições e repetição

Eu vejo esse erro surgir quando proponho uma senha de três algarismos. Um aluno conta de 0 a 9, encontra dez possibilidades e responde “30”, porque multiplica dez por três posições. Outro responde “900”, convencido de que o primeiro algarismo não pode ser zero, mesmo quando o enunciado diz que qualquer algarismo serve. Os dois estão tentando resolver, mas ainda não modelam cada posição como uma escolha independente.

Em outra aula, quando a placa mistura letras e números, a dificuldade muda de forma: alguns alunos somam as opções, outros esquecem uma das posições e outros tratam repetição como proibida sem que o problema diga isso. Por isso, eu não olho apenas para o resultado final. As alternativas escolhidas revelam se a turma entendeu o princípio multiplicativo, leu as restrições e distinguiu “pode repetir” de “não pode repetir”. Esse diagnóstico é o ponto de partida deste guia.

O que é combinações de letras e dígitos, explicado para o professor?

Combinações de letras e dígitos são formas de preencher posições de um código, senha, placa ou identificação com elementos de conjuntos definidos. Para contar sem listar todas as possibilidades, identifico quantas opções cabem em cada posição e multiplico essas quantidades: se há duas letras, cada uma com 26 opções, e três dígitos, cada um com 10, o total é 26 × 26 × 10 × 10 × 10, quando todas as escolhas são independentes e a repetição é permitida. Se uma letra não pode se repetir, a segunda posição passa a ter 25 opções; se o primeiro dígito não pode ser zero, aquela posição tem nove opções. O tema aparece em Matemática no 5º, 6º, 7º e 9º anos e no ENEM, relacionado às habilidades EF05MA09, EF06MA03, EF07MA01, EF09MA20 e EM13MAT310.

Para evitar uma confusão que aparece até em materiais didáticos, vale nomear com cuidado o procedimento. Na contagem de sequências ordenadas, o princípio multiplicativo é o instrumento central. A ordem importa porque AB não é o mesmo código que BA. Em conversa cotidiana, podemos chamar o resultado de quantidade de combinações possíveis, mas não é necessário introduzir formalmente combinações simples ou permutações para resolver todo problema desse tipo. O essencial é analisar as posições e as regras dadas.

Também ensino que zero pode ocupar uma posição quando o objeto é um código ou uma senha, mas pode não ser permitido no início de um número natural escrito com determinada quantidade de algarismos. O enunciado precisa decidir. Essa distinção dá sentido a questões como a senha numérica com três posições, em que 000 pode contar, e a senha de quatro dígitos cujo primeiro dígito não pode ser zero. Não deixo a turma aplicar uma regra decorada sem verificar o contexto.

O que o aluno precisa saber antes de contar códigos?

Antes de multiplicar, o aluno precisa reconhecer as posições, contar opções de cada conjunto e compreender se a escolha em uma posição altera as opções seguintes. As fichas apontam como pré-requisitos recorrentes o princípio da contagem, a multiplicação de possibilidades, números e dígitos, combinações de letras e números e a leitura de condições sobre repetição. Em algumas questões, também aparece a necessidade de distinguir combinações e permutações; para este tipo de contagem, a distinção prática é perceber que estamos formando sequências ordenadas. Eu verifico a base com exemplos pequenos: desenho dois espaços, proponho três símbolos possíveis para cada um e peço que a turma explique por que há 3 × 3 resultados, não apenas que diga o total.

Uma sondagem curta permite separar dificuldades que, no resultado, parecem iguais. Peço que os estudantes contem as opções para cada posição sem calcular o produto. Depois, altero apenas uma regra: “a primeira não pode ser zero” ou “as letras não podem se repetir”. Se o aluno muda a quantidade de opções na posição certa, ele está lendo a condição. Se mantém o mesmo número em todas, precisa revisar a interpretação. Se identifica as opções corretamente, mas soma em vez de multiplicar, a lacuna está no princípio multiplicativo, não na leitura.

Nas fichas, as questões exigem cálculo e, com uma exceção de leitura baixa, têm nível de leitura médio. Isso sugere que eu não devo presumir domínio só porque a conta parece simples. Antes de uma avaliação, uso uma pergunta oral: “Quantas escolhas há para cada lugar e por quê?”. A resposta mostra se a criança compreende a estrutura antes de manipular números. Em anos iniciais, posso usar cartões ou espaços desenhados; em turmas mais avançadas, basta uma tabela de posições.

Quais são os erros mais comuns em combinações de letras e dígitos?

O padrão mais consistente nas fichas é a dificuldade de combinar corretamente as opções de cada posição, sobretudo quando coexistem letras, dígitos e regras diferentes de repetição. As oito questões têm poder de discriminação alto, e seus distratores foram construídos para tornar visíveis erros como somar em vez de multiplicar, contar menos posições, supor que zero é proibido sem indicação ou ignorar uma restrição explícita. Os distratores mais prováveis variam: a letra A aparece nas questões 1, 2 e 5; a B, nas questões 6, 7 e 8; e a D, na questão 3. Eu trato esses resultados como pistas diagnósticas, não como prova automática de uma concepção fixa: peço ao aluno que explique o caminho e intervenho no raciocínio que ele realmente usou.

Multiplicar o número de opções pelo número de posições

O aluno pode responder 30 para três posições com dez algarismos, como no distrator A da questão 1. A causa provável é interpretar “três posições” como uma quantidade a multiplicar pela quantidade de algarismos, sem perceber que cada posição recebe uma escolha própria. Peço que desenhe três espaços e escreva “10 opções” sobre cada um. Em seguida, montamos uma árvore apenas para duas posições e observamos por que cada opção da primeira pode combinar com cada opção da segunda. A alternativa D da mesma questão expressa uma confusão equivalente, embora a ficha indique A como distrator mais provável.

Somar as opções ou esquecer posições

Quando o aluno soma letras e dígitos, pode produzir um total como os distratores C ou D da questão 6. Quando calcula somente uma parte do código, pode escolher resultados muito pequenos, como 520 na questão 7 ou 500 na questão 8. Isso costuma revelar que ele ainda não está tratando a sequência inteira como um conjunto de escolhas encadeadas. A intervenção é marcar cada posição, preencher sua quantidade de opções e só depois multiplicar. Comparo “escolher uma letra ou um dígito” com “preencher todos os espaços”: o primeiro pode envolver soma em outros contextos; o segundo exige combinar escolhas.

Ignorar a repetição permitida

Se o enunciado permite repetição, cada posição pode continuar com o mesmo conjunto de opções. O erro típico indicado nas fichas 1, 3, 5, 6 e 8 é subcontar as possibilidades ao não considerar corretamente a repetição. Na questão 8, o distrator B, 52.000, é apontado como o mais provável e é associado a desconsiderar letras repetidas. Eu pergunto: “Depois de usar A na primeira posição, A ainda pode aparecer na segunda?”. A resposta deve vir do enunciado, não de uma regra suposta. Em seguida, comparo duas versões do mesmo problema, uma com repetição e outra sem.

Permitir uma repetição que o enunciado proíbe

O erro inverso aparece quando a condição impede repetir. Na questão 4, as duas letras precisam ser diferentes, então há 26 escolhas para a primeira e 25 para a segunda; os dígitos, por sua vez, podem repetir e continuam com dez opções cada. A ficha descreve como erro típico não diferenciar essas regras por tipo de posição, embora seu distrator mais provável indicado seja B, 6.500.000. Para intervir, sublinho a condição e monto duas linhas: “letras: 26, depois 25” e “dígitos: 10, 10, 10”. Assim, a turma não aplica uma única regra de repetição ao código inteiro.

Tratar o zero como sempre proibido ou sempre permitido

Na senha de três posições da questão 1, qualquer algarismo de 0 a 9 pode ocupar cada posição, logo são dez opções em todas. Já na questão 2, o primeiro dígito não pode ser zero, por isso há nove opções nessa posição e dez nas três seguintes. O distrator A, 900, é o mais provável na ficha da questão 2 e revela que a turma pode estar reduzindo as opções finais a uma; o resultado 10.000 também mostra que a restrição inicial foi ignorada. Peço que o aluno aponte a frase que autoriza ou proíbe o zero e anote o número de opções ao lado de cada posição.

Como ensinar combinações de letras e dígitos passo a passo?

Eu organizo o ensino do concreto para a notação, mantendo a mesma pergunta em cada etapa: quantas escolhas há em cada posição? Primeiro apresento códigos curtos com poucas opções e deixo a turma listar resultados; depois desenho espaços e registro a quantidade disponível em cada um; por fim, uso o princípio multiplicativo e acrescento restrições de repetição ou de início com zero. As dicas das fichas convergem para calcular as possibilidades separadamente e multiplicá-las, em vez de tentar adivinhar o total. Essa rotina também favorece a tomada de decisão e o pensamento crítico citados como habilidades socioemocionais nas fichas. Não começo com uma fórmula abstrata: começo pedindo que expliquem a regra de cada espaço e só então transformo a explicação em produto.

Etapa 1 — Ler e representar. A turma destaca quantas posições há e o que pode ocupá-las. Para um crachá com duas letras e três dígitos, desenho cinco espaços e identifico cada grupo. Evito pedir cálculo imediato. Cada aluno precisa justificar de onde vêm 26 e 10, em vez de repetir esses números sem relação com o enunciado.

Etapa 2 — Decidir sobre repetição. Circundamos expressões como “pode repetir”, “não se repetem” e “qualquer algarismo”. Se nada diz que uma escolha anterior elimina opções, não inventamos essa restrição. Comparo dois exemplos quase iguais, alterando somente essa condição. Nas letras não repetidas, a contagem passa de 26 para 25 na segunda posição; com repetição, permanece 26.

Etapa 3 — Contar posição por posição. Cada posição recebe seu número de opções. Se todas são independentes, multiplico. Por exemplo, duas letras com repetição e três dígitos com repetição produzem 26 × 26 × 10 × 10 × 10. Para alunos que ainda confundem multiplicação e soma, uso uma árvore pequena, depois relaciono seus ramos ao produto, sem listar centenas ou milhares de casos.

Etapa 4 — Calcular e conferir. Agrupo fatores iguais quando isso facilita: 26² × 10³. Confiro se o resultado faz sentido e se todas as posições foram incluídas. Um resultado menor por fator dez pode indicar uma posição esquecida; um resultado baseado em 26 × 2 pode indicar que as opções foram somadas ou multiplicadas pela quantidade de lugares sem considerar as combinações.

Etapa 5 — Explicar o erro, não apenas corrigir a conta. Apresento um distrator e peço que a turma reconstrua o raciocínio que poderia produzi-lo. Se alguém escolhe 900 para uma sequência de quatro algarismos com primeiro dígito diferente de zero, verificamos cada posição: 9 × 10 × 10 × 10. A correção se torna uma oportunidade de leitura matemática e não somente uma troca de resposta.

Como avaliar: que tipo de questão usar em cada momento?

As fichas classificam as oito questões como adequadas para prova, atividade, diagnóstico e simulado; nenhuma está marcada como apropriada para lição de casa ou avaliação rápida. O tempo de resolução é curto na questão 1 e médio nas demais; a leitura também é baixa na questão 1 e média nas outras. Todas exigem cálculo, têm objetivo de avaliação, peso pedagógico alto e poder de discriminação alto. Na prática, uso as questões de um passo para checar a base e as que combinam restrições para consolidar ou desafiar. Como o tempo é médio na maior parte do conjunto, não as trato automaticamente como itens-relâmpago. A ficha da questão 1 também a identifica como consolidação; a questão 3, como desafio; as demais, em geral, como consolidação.

No diagnóstico inicial, seleciono um item simples e peço justificativa escrita. A questão 1 permite observar se o aluno entende repetição e zero em todas as posições; a questão 2 testa a leitura de uma restrição localizada. Como ambas têm alto poder de discriminação nas fichas, a alternativa escolhida ajuda a planejar a retomada, desde que eu também analise a explicação.

Na atividade de aprendizagem, comparo duas questões com estrutura semelhante, como as placas com repetição permitida e as letras diferentes. Em duplas, os alunos podem preencher uma tabela de posições e revisar a contagem uns dos outros. A questão 4 é útil para observar se o estudante consegue aplicar regras diferentes a letras e dígitos. As fichas indicam uso em atividade para todas as questões.

Na prova ou no simulado, combino itens de consolidação com um desafio, sem usar o conjunto inteiro como uma sequência extensa de cálculos quase iguais. A questão 3 aparece como desafio; a 1 e a maioria das outras, como consolidação. Todas são indicadas para prova e simulado. O tempo médio da maioria pede espaço suficiente para ler, modelar e calcular, especialmente em questões com várias posições.

Na avaliação rápida e na lição, considero o dado da ficha: nenhuma questão é marcada como boa para avaliação rápida ou lição de casa. Isso não impede que eu crie uma sondagem oral adaptada ou uma tarefa própria, mas não apresento essas oito como se tivessem essa classificação. Para uma checagem breve, posso pedir apenas que indiquem as opções por posição, sem cálculo final; para casa, posso propor uma comparação entre duas regras e solicitar justificativa.

Também observo contexto e autonomia: as questões são abstratas e os enunciados são classificados como completos, então não dependem de informação externa. A cobertura da habilidade é única em quase todas, enquanto a questão 4 é indicada como múltipla. Na correção, separo erro de leitura, escolha inadequada de operação e falha aritmética. Essa distinção evita concluir que o aluno não compreendeu o princípio quando, na verdade, cometeu um erro de multiplicação.

Para onde este conceito leva?

Contar combinações de letras e dígitos prepara o aluno para estudar combinações de senhas, códigos de acesso e outras sequências formadas por escolhas sucessivas. O avanço não é simplesmente usar números maiores: é analisar com mais precisão as condições, como tamanho mínimo, caracteres permitidos, repetição e posições especiais. Quando a turma domina o modelo, consegue comparar quantas possibilidades existem sob regras diferentes e explicar por que uma senha pode ser mais ou menos difícil de adivinhar, sem confundir quantidade de códigos com garantia de segurança. Eu retomo sempre a mesma estrutura — posições, opções e restrições — para dar continuidade ao raciocínio combinatório e preparar problemas com mais etapas.

Uma extensão acessível é comparar duas senhas: uma com quatro dígitos repetíveis e outra com três letras e dois dígitos repetíveis. Os alunos calculam cada total e justificam qual conjunto é maior. Depois, altero uma regra, por exemplo, proibindo repetição das letras. O objetivo é que percebam como a restrição muda um fator do produto, sem precisar recomeçar toda a contagem. Para aprofundar, posso discutir a diferença entre listar casos, contar sequências ordenadas e calcular probabilidades em situações simples. O vínculo com probabilidade depende de uma base segura: o estudante precisa saber quantos resultados são possíveis antes de analisar a chance de um deles ocorrer.

Que ligações existem com outros temas?

As fichas associam várias questões ao tema transversal ciência e tecnologia e relacionam a habilidade socioemocional principalmente à tomada de decisão; em duas aparece pensamento crítico. Esses vínculos combinam com códigos, placas e crachás como contextos de aplicação, ainda que os enunciados sejam abstratos. Eu aproveito o tema para discutir como sistemas digitais representam informações com conjuntos finitos de caracteres e por que as regras de formação precisam ser claras. No plano socioemocional, os estudantes praticam justificar escolhas, conferir condições antes de calcular e revisar uma estratégia quando o resultado não faz sentido. Essa conversa não substitui a matemática do problema: amplia a interpretação e mostra que contar possibilidades é útil para compreender sistemas e tomar decisões fundamentadas.

Posso conectar o conteúdo a tecnologia, mas evito prometer que um número maior de combinações, sozinho, torna qualquer senha segura. Segurança digital envolve outros fatores que estão além da contagem escolar, como a forma de armazenamento e a proteção contra tentativas automatizadas. Na aula, mantenho o foco matemático: quantas sequências o conjunto de regras permite? Em projetos interdisciplinares, essa pergunta pode abrir uma conversa cuidadosa sobre privacidade e uso responsável de dados, sem apresentar o cálculo como recomendação completa de segurança.

Também há espaço para trabalhar comunicação e colaboração. Em pequenos grupos, um aluno pode identificar posições, outro registrar restrições e outro conferir o produto. Para que a divisão não esconda lacunas individuais, peço que cada estudante explique ao final por que um fator é 9, 10, 25 ou 26. Assim, tomada de decisão e pensamento crítico deixam de ser apenas rótulos da ficha e aparecem em ações observáveis: selecionar informação relevante, defender uma interpretação e aceitar revisar o cálculo diante de uma condição esquecida.

Quais questões comentadas ajudam a diagnosticar combinações de letras e dígitos?

As oito questões a seguir cobrem repetição permitida, repetição proibida em parte do código, restrição do zero na primeira posição e sequências mistas de letras e algarismos. Em cada item, olho para o raciocínio revelado pelo distrator, não somente para acerto ou erro: uma resposta pequena pode indicar posição esquecida, enquanto um resultado aparentemente plausível pode esconder uma restrição inventada. As explicações abaixo mantêm o foco no princípio multiplicativo e na leitura das condições. Há um cuidado especial na questão 7: o enunciado não proíbe repetição, então a contagem correta considera 26 opções para cada letra e 10 para cada algarismo. Essa leitura do texto deve prevalecer sobre explicações incompatíveis incluídas em uma alternativa errada.

1. Lia vai criar uma senha numérica com três posições. Em cada posição, ela pode usar qualquer algarismo de 0 a 9, e pode repetir algarismos. Quantas senhas diferentes ela pode criar?

• ❌ A) 30 senhas. Multiplica dez algarismos por três posições, em vez de combinar as escolhas de cada lugar. O erro revela que o aluno reconhece os dois dados, mas ainda não aplica o princípio multiplicativo.
• ✅ B) 1000 senhas. Há dez opções em cada uma das três posições, incluindo zero, e a repetição é permitida: 10 × 10 × 10 = 1000.
• ❌ C) 900 senhas. Supõe que o primeiro algarismo não pode ser zero, condição que não aparece no enunciado. Revela aplicação automática de uma regra de números naturais a uma senha.
• ❌ D) 300 senhas. Repete a ideia de multiplicar quantidade de posições por algarismos, sem combinar as opções entre posições. Revela confusão entre contagem linear e escolhas sucessivas.
• ❌ E) 100 senhas. Conta apenas duas posições e esquece a terceira. Revela dificuldade em representar todos os espaços da senha.

Gabarito: B. Eu pediria ao aluno que explique por que 000 é uma possibilidade válida e que indique as dez escolhas em cada espaço. Isso verifica a compreensão de repetição e de zero sem se limitar à operação final.

2. Quantas senhas de 4 dígitos existem se o primeiro dígito não pode ser zero e os outros podem ser 0–9?

• ❌ A) 900 senhas. Os últimos dígitos não têm uma única opção cada: cada um pode variar de 0 a 9. Revela que o aluno não associou o conjunto disponível às posições finais.
• ❌ B) 1000 senhas. O primeiro dígito tem nove opções, não uma. Revela dificuldade em contar os algarismos de 1 a 9.
• ❌ C) 8000 senhas com 0 no primeiro dígito. Viola diretamente a condição de que o primeiro dígito não pode ser zero. Revela leitura incompleta da restrição.
• ✅ D) 9000 senhas. São nove opções na primeira posição e dez em cada uma das três seguintes: 9 × 10 × 10 × 10 = 9000.
• ❌ E) 10.000 senhas. Trata também a primeira posição como dez opções e inclui o zero, apesar da regra. Revela que a restrição foi ignorada.

Gabarito: D. A pergunta diagnóstica que acompanha a correção é: “Qual fator do produto muda por causa da proibição do zero?”. A resposta esperada é o primeiro fator, 9; os outros permanecem 10.

3. Um crachá é formado por duas letras (A–Z) seguidas de três dígitos (0–9). Quantas combinações distintas de crachá são possíveis?

• ✅ A) 676000. Cada letra tem 26 opções e cada dígito, 10: 26² × 10³ = 676.000.
• ❌ B) 52000 combinações. Não representa a multiplicação correta das opções de letras e dígitos. Revela provável confusão entre quantidade de símbolos e quantidade de posições.
• ❌ C) 1000 combinações. Conta apenas a parte dos dígitos e deixa de considerar as duas letras. Revela omissão de posições.
• ❌ D) 100000 combinações. É uma superestimativa produzida por fórmula inadequada; não corresponde a 26 opções em cada letra e 10 em cada dígito. Revela que o aluno pode estar manipulando quantidades sem mapear os lugares.
• ❌ E) 10000 combinações. Confunde a contribuição das letras com a dos números e subconta a sequência. Revela que não organizou os cinco fatores.

Gabarito: A. Para verificar o processo, peço que o estudante escreva primeiro 26 × 26 × 10 × 10 × 10 e só depois calcule. A ficha aponta D como distrator mais provável, útil para discutir a diferença entre superestimar e esquecer posições.

4. Quantas placas podem ser formadas por duas letras diferentes (A–Z) seguidas de três dígitos (0–9)? Considere que as duas letras não se repetem, dígitos podem repetir.

• ❌ A) 500000 placas. Não corresponde à contagem que distingue letras sem repetição e dígitos repetíveis. Revela erro ao combinar os grupos.
• ❌ B) 6500000 placas. É um cálculo grosseiramente maior que o produto correto. Revela possível erro de cálculo ou de valor posicional; é o distrator mais provável indicado na ficha.
• ❌ C) 600000 placas. Não aplica corretamente a redução de opções da segunda letra. Revela dificuldade em interpretar “letras diferentes”.
• ❌ D) 700000 placas. Não resulta do produto das opções por posição. Revela confusão entre as regras de formação.
• ✅ E) 650000 placas. Há 26 opções para a primeira letra, 25 para a segunda e dez para cada dígito: 26 × 25 × 10 × 10 × 10 = 650.000.

Gabarito: E. A intervenção principal é fazer a turma explicar por que apenas a segunda letra cai de 26 para 25 e por que os três fatores dos dígitos continuam iguais a 10.

5. Quantas placas possíveis com três letras seguidas de dois dígitos podem ser formadas se cada letra pode ser qualquer das 26 do alfabeto e cada dígito qualquer de 0 a 9, admitindo repetição?

• ❌ A) 1.000.000 placas. Subestima o total e não representa todas as opções de letras e dígitos. Revela que o aluno não montou os cinco fatores corretamente; é o distrator mais provável da ficha.
• ✅ B) 1.757.600 placas. Como a repetição é permitida, há 26 opções para cada uma das três letras e dez para cada dígito: 26³ × 10² = 1.757.600.
• ❌ C) 2.600 placas. É muito pequeno para cinco posições com as opções descritas. Revela que parte substancial do código foi desconsiderada.
• ❌ D) 156.000 placas. Não considera corretamente as possibilidades de repetição para letras e dígitos. Revela aplicação de uma restrição não indicada ou produto incompleto.
• ❌ E) 26.000 placas. Ignora a multiplicação correta das opções dos dígitos e subconta a sequência. Revela que a turma precisa revisar o papel de cada fator.

Gabarito: B. Peço que os alunos agrupem primeiro as letras e depois os dígitos; esse registro permite localizar se a dificuldade está na potenciação ou na montagem do produto.

6. Quantas placas distintas podem ser formadas com duas letras maiúsculas seguidas de três dígitos, admitindo repetição de caracteres?

• ✅ A) 676000. Cada uma das duas letras tem 26 opções e cada um dos três dígitos tem dez: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676.000.
• ❌ B) 67600. Fica dez vezes abaixo do total, como se faltasse um fator 10. Revela provavelmente que uma posição de dígito foi esquecida; a ficha aponta B como distrator mais provável.
• ❌ C) 520000. Não combina letras e dígitos pelo produto correto. Revela dificuldade em calcular possibilidades conjuntas.
• ❌ D) 130000. A soma de contribuições não substitui o produto quando todas as posições precisam ser preenchidas. Revela confusão entre situações aditivas e multiplicativas.
• ❌ E) 40000. Não considera adequadamente as opções para letras e a repetição de dígitos. Revela leitura ou modelagem incompleta.

Gabarito: A. Comparo o distrator B com o produto escrito para que o aluno perceba que a diferença de um fator dez pode apontar para uma posição de dígito esquecida.

7. Uma placa de identificação é formada por 2 letras seguidas de 3 algarismos. Quantas placas distintas podem ser formadas, considerando 26 letras e 10 algarismos?

• ✅ A) 676000. Como o enunciado não proíbe repetição, há 26 opções para cada letra e dez para cada algarismo: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676.000.
• ❌ B) 100000 placas. Não é o produto das opções de todas as posições. A justificativa da alternativa menciona uma condição sobre algarismos distintos que não consta no enunciado; escolher isso revela que o aluno pode estar importando uma regra externa.
• ❌ C) 520 placas. Considera apenas as letras e ainda não calcula corretamente as possibilidades totais. Revela que os algarismos foram omitidos.
• ❌ D) 13000 placas. Não corresponde ao produto das cinco posições. Revela contagem incompleta ou suposição não justificada sobre repetição.
• ❌ E) 500 placas. Multiplicar apenas 26 por 10 considera uma letra e um algarismo, não todos os lugares. Revela que a estrutura do código não foi representada por inteiro.

Gabarito: A. A alternativa B traz uma afirmação incompatível com o enunciado; aproveito isso para reforçar que a regra válida é a escrita na pergunta, não uma explicação inserida em um distrator.

8. Um crachá de evento é composto por duas letras (A–Z) seguidas de dois algarismos (0–9). Letras e algarismos podem repetir. Quantos crachás distintos podem ser emitidos?

• ✅ A) 67600 crachás. São 26 opções para cada letra e dez para cada algarismo: 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600.
• ❌ B) 52000 crachás. Desconsidera letras repetidas, embora sejam permitidas. Revela dificuldade em aplicar a regra de repetição ao grupo correto; é o distrator mais provável da ficha.
• ❌ C) 10000 crachás. Limita as opções de letras a dez, quando o alfabeto tem 26 opções em cada posição. Revela confusão entre letras e algarismos.
• ❌ D) 20000 crachás. Soma contribuições quando é necessário combinar todas as posições por multiplicação. Revela confusão entre o princípio aditivo e o multiplicativo.
• ❌ E) 500 crachás. Desconsidera as letras e não conta todas as posições. Revela leitura incompleta da composição do crachá.

Gabarito: A. Para encerrar, peço que a turma compare esse item com a questão 4: a mudança decisiva não é o objeto formado, mas a regra sobre repetição e o número de posições.

Quais dúvidas de professores aparecem ao ensinar esse conteúdo?

As dúvidas mais frequentes são sobre o papel do zero, a diferença entre repetição permitida e proibida, a escolha entre soma e multiplicação e o momento de introduzir termos formais como permutação. Minha orientação é manter a decisão ancorada no enunciado e nas posições: se todas precisam ser preenchidas, conto as opções de cada uma e multiplico; se uma condição altera uma posição, altero somente o fator correspondente. A palavra “combinação” é usada aqui no sentido cotidiano de possibilidades de formar códigos, sem exigir que a turma aplique fórmulas de combinação simples. Esse enquadramento favorece explicações claras no 5º e 6º ano e continua útil nas questões de 7º, 9º ano e Ensino Médio.

Preciso ensinar fórmula de permutação para resolver essas questões?

Não necessariamente. O princípio multiplicativo resolve os itens apresentados: basta contar as opções de cada posição e multiplicar. As fichas sugerem revisar combinações e permutações em vários casos, mas isso não significa que o aluno precise decorar uma fórmula antes de compreender a estrutura. Eu priorizo o raciocínio posição por posição e introduzo nomenclatura formal quando fizer sentido para o currículo da turma.

Quando o zero pode aparecer na primeira posição?

Depende do objeto e da regra escrita. Em uma senha de três posições, se qualquer algarismo de 0 a 9 pode ser usado em cada lugar, o zero inicial é permitido. Se o problema diz que o primeiro dígito não pode ser zero, essa posição tem nove opções. Não transfiro automaticamente a regra dos números naturais para senhas, placas ou códigos.

Como diferencio uma dificuldade de leitura de uma dificuldade de cálculo?

Peço ao aluno que escreva as opções disponíveis em cada posição antes de multiplicar. Se identifica os fatores incorretamente, investigo a interpretação das condições; se os fatores estão corretos e o produto não, reviso cálculo. As alternativas das questões oferecem pistas, mas a justificativa do estudante é necessária para distinguir esses casos.

Posso usar as questões como avaliação rápida ou lição de casa?

Nas fichas fornecidas, as oito questões não estão marcadas como boas para avaliação rápida nem para lição de casa, embora todas sejam indicadas para prova, atividade, diagnóstico e simulado. Posso adaptá-las ou criar uma checagem breve a partir delas, mas devo deixar claro que a indicação original não classifica esses usos como recomendados.

Como trabalhar repetição sem confundir a turma?

Uso pares de problemas que diferem por uma única frase: “pode repetir” e “as letras devem ser diferentes”. Os alunos registram as opções de cada posição lado a lado e explicam qual fator mudou. A comparação torna visível que a repetição não altera automaticamente todas as posições; cada regra precisa ser aplicada ao lugar correspondente.

Se quiser montar uma avaliação equilibrada e adaptar a quantidade de questões ao momento da turma, experimente o gerador de provas do GeraProva. Você também pode fazer seu cadastro grátis e preparar materiais que ajudem a enxergar não só quem acertou, mas como cada aluno pensou.