Atividades sobre propriedades de figuras geométricas com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT512)

Quando recebo no planejamento um código como EM13MAT512, a primeira reação costuma ser de cansaço: mais uma habilidade para transformar em aula e, depois, em prova. Ela fala em investigar propriedades de figuras geométricas, em buscar contraexemplos e em entender quando uma afirmação precisa de demonstração. Na prática, isso significa sair do 'decore a fórmula' e chegar no 'por que isso é verdade?'.

Neste texto eu conto como eu trabalho essa habilidade em sala, que tipo de questão realmente cobra o que ela pede e deixo seis questões prontas com gabarito comentado, para você usar direto na sua turma.

O que a habilidade EM13MAT512 pede, de verdade?

Traduzindo para a linguagem da sala de aula: a habilidade quer que o aluno pegue uma propriedade de um triângulo ou de um quadrilátero e a teste. Ele deve tentar derrubar a afirmação com um exemplo que a contrarie (um contraexemplo). Se não conseguir derrubá-la, precisa entender que a afirmação só vale se for demonstrada. Ou seja, o aluno aprende a desconfiar, a testar e a justificar, em vez de simplesmente aceitar o que o livro diz.

Investigar propriedades de figuras geométricas, questionando suas conjecturas por meio da busca de contraexemplos, para refutá-las ou reconhecer a necessidade de sua demonstração para validação, como os teoremas relativos aos quadriláteros e triângulos.

O texto oficial menciona os teoremas sobre quadriláteros e triângulos como exemplos. Na minha experiência, o ponto de virada acontece quando o aluno percebe que uma conjectura como 'todo quadrilátero com dois lados iguais é um paralelogramo' cai com um desenho simples de pipa. Esse momento de 'ah, não vale sempre!' vale mais que dez exercícios de cálculo.

Como trabalhar EM13MAT512 em sala?

Algumas ideias que funcionam sem material caro, só com papel, régua, compasso e um pouco de conversa:

• Conjectura do dia: escreva uma afirmação falsa no quadro (por exemplo, 'as diagonais de todo quadrilátero se cruzam no ponto médio') e peça para a turma tentar refutá-la em duplas.
• Caça ao contraexemplo: distribua um quadrilátero desenhado por você e peça para os alunos medirem e dizerem se a propriedade se mantém.
• Dobradura do triângulo: para mostrar a soma dos ângulos internos, recortar e rasgar os cantos é mais memorável que qualquer prova no quadro.
• Debate de validade: depois que a turma 'acha' que uma propriedade vale, proponha a pergunta: 'Medir vários casos prova isso? Por quê?' Essa discussão é o coração da demonstração.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código não pode ser só um cálculo de ângulo disfarçado. Ela precisa exigir que o aluno analise uma afirmação, identifique o que a torna verdadeira ou falsa e justifique a escolha. Questões que pedem apenas a aplicação direta de uma fórmula cobram a parte operacional, mas não a investigação que a BNCC descreve.

Erros comuns de avaliação que eu já cometi: usar alternativas em que a errada é 'absurda' (fácil de descartar sem pensar), ou montar questões em que a resposta correta só aparece porque é a única com número positivo. Vale revisar cada alternativa perguntando: um aluno que errou por um detalhe conceitual conseguiria chegar a ela?

Questões prontas de EM13MAT512 (com gabarito comentado)

Questão 1: faces opostas em um octaedro

ENEM - 2021 Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas. Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?

• ❌ A) 1, 2, 3 e 4 — Errada, pois todas as faces 1, 2, 3 e 4 não podem ser opostas à face cinza ao mesmo tempo.
• ❌ B) 1 e 3 — Errada, pois a face 2 não é oposta à face cinza escuro.
• ❌ C) 1 — Errada, pois a face 1 não é oposta à face cinza escuro.
• ❌ D) 2 — Errada, pois a face 2 não é oposta à face cinza escuro.
• ✅ E) 4 — Correta, pois a face 4 é a única que não compartilha arestas ou vértices com a face cinza escuro.

Dica de resolução: analise as faces opostas no octaedro usando a definição dada.

Questão 2: ângulo inscrito e ângulo central

No círculo de centro O, o ângulo inscrito ?ACB intercepta o arco AB e mede 2x+10°. O ângulo central ?AOB que intercepta o mesmo arco mede 5x-5°. Determine x.

• ❌ A) x = 20 — Inscrito=50°, central=95°; central deveria ser 100° (dobro), não 95°.
• ✅ B) x = 25 — O ângulo central que subtende um arco tem medida dupla da do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco: 5x-5 = 2(2x+10) ? x = 25.
• ❌ C) x = 5 — Inscrito=20°, central=20°; mas central deve ser 40° (o dobro), portanto incorreto.
• ❌ D) x = 30 — Inscrito=70°, central=145°; deveria ser 140°, há desacordo.
• ❌ E) x = 15 — Inscrito=40°, central=70°; central deveria ser 2×40=80°, logo x?15.

Dica de resolução: use que o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco.

Questão 3: ângulos em retas paralelas cortadas por transversal

Num diagrama, retas paralelas l e m são cortadas por transversal t. Em l o ângulo interno é 3x-20°; em m, o ângulo interno adjacente é x+40°. Sabendo que são suplementares, determine x e a medida do ângulo correspondente em m.

• ✅ A) x = 40, ângulo = 100° — Soma suplementar 180° ? x=40; então 3x-20=100°.
• ❌ B) x = 30, ângulo = 70° — x=30 não satisfaz a soma suplementar dada.
• ❌ C) x = 45, ângulo = 115° — x=45 não resolve 4x+20=180 (resulta 200).
• ❌ D) x = 20, ângulo = 40° — x=20 resulta em somas que não atingem 180°.
• ❌ E) x = 50, ângulo = 130° — x=50 dá soma 160°+90° ? 180°, inválido.

Dica de resolução: some as expressões dos ângulos suplementares e depois identifique o ângulo correspondente.

Questão 4: relação entre ângulo central e inscrito

Em uma circunferência de centro O, o ângulo central ?AOC mede 7x+10° e o ângulo inscrito ?ABC que subtende o mesmo arco AC mede 3x+12°. Calcule x.

• ❌ A) x = 2 — Dobrou só o termo com x: 7x+10 = 2·3x+12 ? 7x+10=6x+12 ? x=2 (esqueceu de dobrar o +12).
• ❌ B) x = 0,5 — Igualou ângulo central e inscrito: 7x+10=3x+12 ? x=0,5 (erro: central vale o dobro do inscrito).
• ❌ C) x = -8/11 — Inverteu a relação: fez 3x+12 = 2(7x+10) ? x = -8/11 (relação de duplicação aplicada ao contrário).
• ❌ D) x = 15,8 — Assumiu que os dois ângulos somam 180°: 7x+10+3x+12=180 ? x=15,8 (não são suplementares).
• ✅ E) x = 14 — O ângulo central que subtende um arco é o dobro do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco. Assim 7x+10 = 2(3x+12) ? 7x+10 = 6x+24 ? x = 14.

Dica de resolução: use que o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco.

Questão 5: ângulo inscrito, arco e cálculo de x

Na circunferência de centro O, o arco AB mede (4x + 20)° e o ângulo inscrito ?ACB que intercepta esse arco mede (3x + 5)°. Calcule x e a medida do arco AB.

• ✅ A) x = 5; arco AB = 40°. — Um ângulo inscrito mede metade do arco que intercepta: 3x+5 = (1/2)(4x+20). Resolva 2(3x+5)=4x+20 ? x=5. Então arco AB = 4·5+20 = 40°.
• ❌ B) x = 10; arco AB = 60°. — Errado: com x=10 ângulo inscrito é 35°, metade do arco 60° é 30°, portanto não satisfaz a relação.
• ❌ C) x = 0; arco AB = 20°. — Errado: ângulo inscrito seria 3·0+5=5°, metade do arco 20° é 10°, não coincide.
• ❌ D) x = 15; arco AB = 80°. — Errado: com x=15 ângulo inscrito =50°, metade do arco 80° é 40°; as medidas não coincidem.
• ❌ E) x = 5; arco AB = 80°. — Errado: se x=5 o arco deve ser 4·5+20=40°, não 80°; contradiz a expressão do arco.

Dica de resolução: use que a medida do ângulo inscrito é metade da medida do arco interceptado e resolva a equação.

Questão 6: ângulos opostos em quadrilátero inscrito

Quadrilátero ABCD é inscrito em uma circunferência. Se ?A = 3x+15° e ?C = 2x+30°, determine x.

• ✅ A) x = 27 — Em quadrilátero cíclico, ângulos opostos somam 180°: (3x+15)+(2x+30)=180 ? 5x+45=180 ? x=27.
• ❌ B) x = 30 — ?A=105°, ?C=90° ? soma=195°, não 180°.
• ❌ C) x = 40 — ?A=135°, ?C=110° ? soma=245°, incompatível com soma 180°.
• ❌ D) x = 10 — ?A=45°, ?C=50° ? soma=95°, contradiz a propriedade do quadrilátero cíclico.
• ❌ E) x = 20 — ?A=75°, ?C=70° ? soma=145°, mas em cíclico soma oposta deve ser 180°.

Dica de resolução: use que ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares e monte a equação.

Próximos passos

Se você quer ver todas as questões que o acervo tem para esse código, acesse a consulta completa do código EM13MAT512. Para montar sua própria prova com essa habilidade em poucos minutos, use o gerador de provas do GeraProva. Se ainda não tem conta, o cadastro grátis leva menos de um minuto.

As questões deste texto são exemplos de referência para sua prática. Confira sempre o contexto da sua turma antes de aplicar. Bom trabalho em sala!