Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT504)

Quando recebo o código EM13MAT504 no planejamento do bimestre, a primeira reação é pensar em como transformar aquela frase longa da BNCC em algo que caiba numa aula de 50 minutos e numa prova de verdade. Não é um código difícil de entender no papel, mas ele pede um cuidado especial: os alunos precisam entender de onde vêm as fórmulas de volume, e não apenas decorá-las.

Foi assim que organizei esta sequência, pensando no que realmente funciona na sala de aula brasileira, com quadro, caderno e alguns objetos do dia a dia.

O que a habilidade EM13MAT504 pede, de verdade?

A habilidade fala em investigar processos de obtenção da medida do volume. Na prática, isso significa que o aluno não deve só aplicar a fórmula do cone ou do cilindro, mas entender por que ela funciona. O texto oficial diz:

Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.

Traduzindo para a linguagem da nossa sala: o objetivo é que o estudante consiga perceber que um prisma de base e altura iguais a um cilindro tem o mesmo volume quando as áreas das seções paralelas à base coincidem, que é o princípio de Cavalieri. Também é esperado que ele note que o volume do cone é a terça parte do volume do cilindro de mesma base e altura. Quando o aluno enxerga isso, a fórmula deixa de ser um mistério e vira consequência lógica. Essa é a diferença entre cobrar a fórmula e cobrar a compreensão da habilidade.

Como trabalhar EM13MAT504 em sala?

Tenho usado algumas ideias simples que não exigem material caro:

• Pilhas de folhas de papel: empilhe folhas formando um prisma e depois deslize as pilhas para formar um sólido de mesma altura. Pergunte se o volume mudou. Essa atividade introduz Cavalieri de forma visual.
• Água e copos descartáveis: encha um copo cônico com areia ou arroz e despeje três vezes num recipiente cilíndrico de mesma base e altura. Os alunos percebem a relação de um terço na prática.
• Caixas de leite e de creme: peça que meçam as dimensões da embalagem e calculem o volume. Compare com a capacidade indicada no rótulo, que costuma ser um bom gatilho para discussão.
• Comparação de reservatórios: proponha a pergunta de quantos copos cônicos cabem num balde cilíndrico. A resposta surpreende a turma e gera debate.
• Relatório curto: peça que o aluno escreva, com suas palavras, por que o cone tem volume igual a um terço do cilindro. Esse texto revela muito mais do que uma lista de contas.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão sobre EM13MAT504 precisa cobrar mais do que substituir números na fórmula. Ela deve pedir que o aluno relacione figuras, use a razão entre cone e cilindro, interprete um enunciado com contexto e, quando for o caso, aplique o princípio de Cavalieri. Os erros mais comuns que vejo nas provas são: esquecer o fator 1/3 do cone, trocar raio por diâmetro, usar a área de uma base triangular como se fosse retangular e confundir volume com área lateral. Quando a questão contém uma alternativa que representa exatamente um desses erros, ela ajuda o professor a identificar onde o aluno tropeçou.

Questões prontas de EM13MAT504 (com gabarito comentado)

Reuni seis questões com alinhamento direto a este código. Em cada uma, a alternativa correta está marcada com ✅ e as erradas com ❌, com a explicação do motivo do erro, que é justamente o que mais ajuda na correção em sala.

Questão 1: cone de chocolate com volume reduzido em 19%

ENEM - 2022 Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a figura.

Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm. Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a

• ❌ A) 1,52. — O raio calculado não atende ao volume reduzido em 19%.
• ❌ B) 3,24. — O volume não corresponde ao novo volume desejado, que é 19% menor.
• ✅ C) 3,60. — Cálculo correto do raio que resulta no volume 19% menor do cone original.
• ❌ D) 6,48. — O volume gerado por este raio é maior que o volume desejado.
• ❌ E) 7,20. — Este raio gera um volume que não corresponde ao volume reduzido em 19%.

Dica de resolução: calcule o volume original e ajuste para o novo volume reduzido para encontrar o novo raio.

Questão 2: volume de prisma com base triangular

Um prisma reto tem base um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm. A altura do prisma é 10 cm. As vistas ortogonais são: planta — triângulo retângulo de catetos 6 e 8; frente — retângulo 10×6; lateral direita — retângulo 10×8. Calcule o volume do sólido em cm³.

• ✅ A) V = (1/2·6·8)·10 = 240 cm³ — Área da base triangular = 1/2·6·8 = 24 cm². Volume do prisma = área da base · altura = 24·10 = 240 cm³.
• ❌ B) V = 6·8·10 = 480 cm³ — Aqui, a base foi erroneamente tratada como quadrado ao invés de triângulo.
• ❌ C) V = 1/2·6·8·20 = 480 cm³ — Altura considerada como 20 cm é incorreta, a altura do prisma é 10 cm.
• ❌ D) V = (1/2·8·10)·10 = 400 cm³ — Os catetos utilizados estão trocados e a área da base está errada.
• ❌ E) V = 12·6·8 = 576 cm³ — Este cálculo ignora que a base é um triângulo e não um retângulo.

Dica de resolução: calcule a área da base e multiplique pela altura.

Questão 3: volume de um cone a partir do cilindro

Durante testes de controle de qualidade em uma fábrica de luminárias, os engenheiros avaliaram o volume de um lote de moldes metálicos em forma de cone. Para isso, utilizaram um recipiente cilíndrico com a mesma altura e o mesmo raio de base dos cones. Com base no princípio de Cavalieri, verificaram que exatamente três cones enchem completamente o cilindro, cuja capacidade é de 12 litros.

A partir do texto-base, calcule o volume de um cone produzido pela fábrica.

• ❌ A) 2 L — Divide 12 L por 6 em vez de por 3, erro de contagem de peças.
• ❌ B) 3 L — Divide 12 L por 4, confundindo a razão correta de 3 cones por cilindro com 4.
• ✅ C) 4 L — Se três cones preenchem 12 L, o volume de cada um é 12 L / 3 = 4 L.
• ❌ D) 12 L — Confunde o volume do cilindro com o volume de um cone, sem divisão.
• ❌ E) 6 L — Divide 12 L por 2, supondo erroneamente dois cones por cilindro.

Dica de resolução: use a relação do volume do cilindro e a quantidade de cones para calcular o volume de um cone.

Questão 4: raio do cilindro com volume igual ao do prisma

— Você já reparou que dois reservatórios de água podem armazenar o mesmo volume mesmo tendo formatos diferentes? Aqui no sítio, há um reservatório em forma de prisma com base triangular de área 6 m2 e altura de 3 m, e outro em forma de cilindro reto de mesma altura. Pelo princípio de Cavalieri, se duas figuras têm alturas iguais e se em toda seção paralela à base as áreas coincidirem, elas têm mesmo volume. Por isso, o cilindro está projetado para armazenar exatos 18 m3, equivalente ao prisma.

A partir do texto-base, determine o valor do raio do cilindro, em metros, para que seu volume seja igual ao do prisma.

• ❌ A) sqrt(2/pi) — Erro: divide por 9 em vez de 3 antes de igualar volumes, calculando r^2=2/pi.
• ✅ B) sqrt(6/pi) — Volume do prisma: 6*3=18. Volume do cilindro: pi r^2*3=18 => r^2=6/pi => r=sqrt(6/pi).
• ❌ C) sqrt(3/pi) — Erro: utiliza área de base igual à altura do prisma, trocando valores de 6 m2 e 3 m.
• ❌ D) 3*sqrt(6/pi) — Erro: multiplica pela altura em vez de cancelá-la ao equacionar volumes iguais.
• ❌ E) sqrt(18/pi) — Erro: confunde volume total com base, adotando 18 no numerador em vez de 6.

Dica de resolução: use a fórmula do volume do cilindro e iguale ao volume do prisma para encontrar o raio.

Questão 5: quantos cones equivalem a um cilindro

Durante a última temporada de chuvas, moradores de uma comunidade instalaram dois modelos de reservatórios para coletar água: um de formato cilíndrico e outro de formato cônico, ambos com raio da base igual a 2 m e altura igual a 5 m. Ao encher completamente cada reservatório, verificou-se que o volume do cone correspondia a apenas uma parte do volume do cilindro. Esses dados fundamentaram o planejamento de quantos reservatórios cônicos seriam necessários para armazenar o mesmo volume que um reservatório cilíndrico.

Com base no texto, determine quantos reservatórios cônicos são necessários para armazenar o mesmo volume que um reservatório cilíndrico.

• ❌ A) 2 reservatórios cônicos — Confunde fator de redução de volume, considerando razão 1/2 em vez de 1/3.
• ✅ B) 3 reservatórios cônicos — Volume do cone é V=1/3·pi·r^2·h, logo o cilindro contém 3 vezes esse volume; são necessários 3 cones.
• ❌ C) 5 reservatórios cônicos — Superestima o número, talvez por considerar multiplicador de 5 em vez de 3.
• ❌ D) 1 reservatório cônico — Pressupõe erroneamente igualdade de volumes de cilindro e cone, ignorando fator 1/3.
• ❌ E) 4 reservatórios cônicos — Adota proporção equivocada de 1/4, erro comum ao confundir expoentes em volume.

Dica de resolução: calcule os volumes do cilindro e do cone e compare para encontrar a quantidade de cones.

Questão 6: altura do molde cônico de queijo

Por que moldes de formatos distintos podem comportar o mesmo volume de queijo artesanal, apreciado por gourmets? Artesãos utilizam dois moldes: um cilíndrico com raio de base 5 cm e altura de 10 cm e um cônico com raio de base 5 cm. Ambos devem produzir porções de queijo iguais em volume para garantir padronização no corte e na maturação.

Considere os moldes descritos e calcule a altura do molde cônico que garante o mesmo volume de queijo que o molde cilíndrico.

• ❌ A) 15 cm — Usa indevidamente fator 1/2 ao considerar a relação entre cones e cilindros.
• ❌ B) 20 cm — Aplica errado o fator de conversão, usando 2/3 em vez de 3 vezes a altura do cilindro.
• ✅ C) 30 cm — Volume do cilindro = pi·25·10 = 250pi. No cone, V = (1/3)pi·25·h, igualando: (1/3)·25·h = 250 => h = 30 cm.
• ❌ D) 5 cm — Divide erroneamente o volume pelo raio em vez de 1/3 da área da base.
• ❌ E) 10 cm — Confunde altura do cilindro com a do cone, desconsiderando o fator 1/3 do cone.

Dica de resolução: calcule o volume do cilindro e iguale ao volume do cone para encontrar a altura.

Fechamento e próximos passos

Depois de passar por essas questões, sugiro três passos para a turma: primeiro, revisar os erros mais frequentes com a lista de alternativas erradas; segundo, repetir a atividade com a água e os copos para fixar a relação de um terço; terceiro, propor um problema de contexto da própria escola, como a capacidade de caixas d'água. Para consultar todas as questões alinhadas ao código, acesse a consulta completa do código EM13MAT504.

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As questões deste texto servem como apoio ao seu planejamento. Revise sempre o conteúdo antes de aplicá-lo à sua turma, porque você conhece melhor do que ninguém o ritmo e a realidade dos seus alunos.