Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT505)

Quando recebo a EM13MAT505 no planejamento, sei que não basta pedir aos alunos que decorem nomes de polígonos. O desafio é transformar um código aparentemente técnico em uma aula em que eles observem, testem, errem e defendam uma ideia matemática. Ladrilhos de piso, mosaicos e estampas ajudam muito nessa conversa.

Na avaliação, também preciso fugir da questão que cobra só uma conta de ângulo isolada. Quero verificar se a turma entende por que um padrão cobre o plano, quando surgem lacunas e como uma regularidade local, em torno de um vértice, permite generalizar o desenho inteiro.

O que a habilidade EM13MAT505 pede, de verdade?

A EM13MAT505 pede que eu leve a turma a resolver problemas de ladrilhamento do plano e, principalmente, a fazer conjecturas a partir dos padrões observados. Na prática, isso significa investigar quais polígonos podem cobrir uma superfície sem buracos ou sobreposições, observar o que acontece em cada vértice, somar ângulos internos e reconhecer quando uma composição se repete de forma válida. Não é uma habilidade de “achar o nome do mosaico” apenas: o estudante deve justificar por que três hexágonos funcionam, por que dois quadrados e um octógono completam uma volta, ou por que certa combinação deixa uma lacuna. Posso trabalhar com recortes de papel, malha geométrica ou aplicativos de geometria dinâmica, mas o foco é a argumentação. Ao final, espero que a turma saia do caso particular — um arranjo testado — para uma regra geral sobre ângulos, polígonos e preenchimento do plano.

“Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.”

Como a habilidade atravessa 1ª, 2ª e 3ª séries, ela também conversa bem com revisões para ENEM, FUVEST, UEL e UNESP. Para consultar o recorte completo e o acervo disponível, acesso a consulta completa do código EM13MAT505.

Como trabalhar EM13MAT505 em sala?

1. Mosaico com recortes: distribuo triângulos equiláteros, quadrados, hexágonos e octógonos feitos em papel. Em grupos, os alunos tentam contornar um ponto sem deixar espaço. Depois registram a soma dos ângulos e explicam o resultado.
2. Caça aos ladrilhos da escola: peço fotos ou desenhos de pisos, muros e calçadas. A turma identifica peças, repetições, simetrias e eventuais lacunas. É uma forma simples de mostrar que a geometria está no caminho até a sala.
3. Tabela de possibilidades: no quadro, organizamos ângulos internos e testamos combinações cuja soma seja 360°. Não preciso listar tudo: o importante é comparar casos que fecham, casos que deixam vão e casos que sobrepõem.
4. Desafio de generalização: após alguns testes, pergunto: “Se só usarmos um polígono regular, quais conseguem ladrilhar o plano?” A turma formula hipóteses e justifica com divisibilidade de 360° pelo ângulo interno.
5. Exploração digital opcional: quem tiver acesso pode construir e arrastar polígonos em um aplicativo de geometria dinâmica. Eu uso a tecnologia para testar conjecturas, não para substituir o raciocínio escrito.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão de EM13MAT505 precisa apresentar um padrão ou uma situação de pavimentação e exigir uma decisão justificada: calcular uma razão de áreas, verificar a soma de ângulos, classificar um ladrilhamento ou deduzir a proporção entre peças. Vale alternar itens objetivos com uma pergunta aberta curta, como “explique por que essa composição não preenche o plano”.

Os erros mais comuns são avaliar apenas fórmulas de área ou chamar todo arranjo com polígonos regulares de ladrilhamento semirregular. Também tomo cuidado com desenhos imprecisos: se o aluno deve concluir que não há lacunas, essa informação precisa estar clara no enunciado. Abaixo estão seis itens prontos, com gabarito comentado, para eu usar como referência.

Questões prontas de EM13MAT505 (com gabarito comentado)

1. Razão entre áreas no bloco de uma praça

Na nova praça central de uma cidade do Nordeste, um bloco de repetição tem 4 quadrados congruentes de lado 1 m e 8 triângulos retângulos isósceles, cada um com catetos de 1 m. Qual é a razão entre a área dos triângulos e a área total do bloco?

• ❌ A) 2/3 — assume, incorretamente, que o bloco totaliza 6 m².
• ❌ B) 1/3 — divide 4 m² por 12 m², e não pelo total correto.
• ❌ C) 1/4 — subestima a área dos triângulos como 2 m².
• ❌ D) 3/4 — atribui 6 m² aos triângulos, em vez de 4 m².
• ✅ E) 1/2 — cada triângulo mede 1/2 m²; os oito somam 4 m². Com 4 m² dos quadrados, o bloco tem 8 m², então 4/8 = 1/2.

2. Proporção entre triângulos e quadrados

Em cada vértice de um padrão aparecem 3 triângulos equiláteros e 2 quadrados. Se serão usados 180 triângulos, quantos quadrados mantêm a proporção?

• ❌ A) 110 — é um valor sem relação com a proporção 3:2.
• ❌ B) 60 — considera apenas 180 ÷ 3 e ignora os dois quadrados.
• ❌ C) 150 — usa uma razão sem base no padrão descrito.
• ❌ D) 90 — divide por 2 e confunde as quantidades por vértice.
• ✅ E) 120 — pela razão 3:2, calculamos 180 × 2/3 = 120.

3. Classificação do mosaico 3.4.6.4

Um mosaico usa, na ordem ao redor de cada vértice, triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular e quadrado. Como ele é classificado?

• ✅ A) Ladrilhamento semirregular do tipo 3.4.6.4 — a sequência de lados dos polígonos é exatamente 3, 4, 6, 4.
• ❌ B) Ladrilhamento regular do tipo 4.4.4.4 — usaria somente quadrados.
• ❌ C) Ladrilhamento semirregular do tipo 3.12.12 — envolveria dodecágonos.
• ❌ D) Ladrilhamento regular do tipo 6.6.6 — usaria apenas hexágonos.
• ❌ E) Ladrilhamento semirregular do tipo 3.3.3.3.6 — tem quatro triângulos e um hexágono.

4. Três polígonos em torno de um vértice

Qual polígono regular, usado três vezes em torno de um vértice, soma exatamente 360°?

• ✅ A) Hexágono regular — 3 × 120° = 360°.
• ❌ B) Pentágono regular — 3 × 108° = 324°, sobrando espaço.
• ❌ C) Triângulo equilátero — 3 × 60° = 180°, deixando grande vão.
• ❌ D) Octógono regular — 3 × 135° = 405°, causando sobreposição.
• ❌ E) Quadrado — 3 × 90° = 270°, com folga no vértice.

5. Quadrados e octógonos no mesmo padrão

Dois quadrados e um octógono regular se encontram em cada vértice, repetindo-se sem espaços ou sobreposições. Que tipo de ladrilhamento é esse?

• ❌ A) Ladrilhamento regular — ele usa mais de um tipo de polígono.
• ❌ B) Ladrilhamento monoédrico — não há apenas um tipo de peça.
• ❌ C) Ladrilhamento irregular — o padrão é uniforme e repetitivo.
• ✅ D) Ladrilhamento semirregular — combina polígonos regulares na mesma disposição em todos os vértices.
• ❌ E) Ladrilhamento aperiódico — o arranjo descrito se repete no plano.

6. Identificação de um ladrilhamento semirregular

O padrão A usa apenas hexágonos; o B reúne três triângulos equiláteros e dois quadrados em cada vértice; o C alterna octógonos e quadrados, mas deixa lacunas. Qual é semirregular?

• ❌ A) Nenhum — ladrilhamento semirregular pode combinar diferentes polígonos regulares.
• ❌ B) O padrão B é regular — usar peças regulares não torna o arranjo regular; há dois tipos de polígonos.
• ✅ C) O padrão B é semirregular — 3 × 60° + 2 × 90° = 360°, sem lacunas e com a mesma configuração em todos os vértices.
• ❌ D) O padrão A é semirregular — com apenas hexágonos, ele é regular.
• ❌ E) O padrão C é semirregular — as lacunas impedem que ele seja um ladrilhamento completo.

Próximos passos

Eu começaria com recortes e uma conversa sobre os vértices; depois, aplicaria duas ou três questões para enxergar onde a turma confunde ângulo, proporção e classificação. Para montar listas por habilidade e ajustar o nível da turma, uso o gerador de provas do GeraProva. Quem ainda não usa a plataforma pode fazer o cadastro grátis.

Estas questões são um ponto de partida: adapte o contexto, peça justificativas e valorize as conjecturas dos seus alunos. Boa aula — e conte com o GeraProva para ganhar tempo sem abrir mão do raciocínio matemático.