Atividades sobre funções exponenciais e logarítmicas com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, MACKENZIE, UEL, UERJ, UNESP (EM13MAT403)

Quando recebo a EM13MAT403 no planejamento, sei que não basta colocar uma lista de contas com potência e logaritmo. O desafio é transformar o código em uma aula na qual a turma enxergue padrões, leia tabelas, compare gráficos e compreenda por que uma função desfaz o efeito da outra.

Na prática, eu costumo começar pelo que os estudantes já conseguem observar: “quando dobra, o que acontece?” A partir daí, levo a discussão para domínio, imagem e crescimento. Para ampliar o repertório, também consulto a consulta completa do código EM13MAT403, que reúne questões alinhadas à habilidade.

O que a habilidade EM13MAT403 pede, de verdade?

A EM13MAT403 pede que o estudante vá além de reconhecer uma fórmula pronta. Ele precisa analisar funções exponenciais e logarítmicas em tabelas e no plano cartesiano, relacionando uma representação à outra e identificando domínio, imagem e comportamento de crescimento. Em sala, isso significa perceber, por exemplo, que uma grandeza que dobra em intervalos iguais pode ser modelada por uma exponencial; já a quantidade de intervalos necessários para atingir determinado valor envolve uma relação logarítmica. Também é essencial comparar os gráficos: exponencial e logarítmica são inversas quando têm a mesma base, com domínio e imagem trocados e simetria em relação à reta y = x. A habilidade admite tecnologias digitais, mas não depende delas: uma tabela bem organizada, papel milimetrado e boas perguntas já permitem construir esse raciocínio. O importante é fazer o aluno justificar o que vê, e não apenas apertar teclas na calculadora.

Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.

Como trabalhar EM13MAT403 em sala?

1. Começo com tabelas de duplicação. Proponho uma população inicial de 100 células que dobra a cada hora. A turma completa a tabela e descreve o padrão. Depois inverto a pergunta: em quantas horas ela chega a 800? Essa virada abre espaço para o logaritmo como resposta a uma pergunta sobre expoente.

2. Faço o “jogo do dobra ou soma”. Escrevo pares de valores no quadro. Se a entrada dobra e a saída soma sempre a mesma quantidade, discutimos um comportamento logarítmico; se a entrada aumenta uma unidade e a saída multiplica por uma constante, o comportamento é exponencial.

3. Uso o plano cartesiano em dupla. Uma dupla marca pontos de y = 2^x; outra, de y = log₂x. Em seguida, sobrepomos os gráficos e procuramos a simetria em relação a y = x. É uma atividade simples e muito mais memorável do que só desenhar curvas prontas.

4. Trabalho domínio e imagem com perguntas curtas. “Posso calcular log₂(-4)? Por quê?” e “Que valores uma exponencial positiva pode assumir?” Essas perguntas ajudam a combater a ideia de que toda expressão aceita qualquer número real.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão de EM13MAT403 precisa pedir leitura e relação entre representações, não só cálculo mecânico. Vale apresentar uma tabela, um contexto ou um gráfico e solicitar que o estudante identifique a função, determine um valor, interprete o crescimento ou explique domínio e imagem. Eu busco variar: uma questão pode partir da exponencial para o logaritmo; outra, da tabela para o gráfico.

Entre os erros mais comuns na avaliação estão cobrar apenas “resolva a equação” sem contexto, confundir crescimento rápido com crescimento linear e aceitar respostas sem justificativa. Também observo se o aluno esquece a referência em expressões como log₂(P/100): ela não é detalhe, pois fixa o instante ou o valor inicial. As questões abaixo podem entrar em lista, revisão ou prova diagnóstica.

Questões prontas de EM13MAT403 (com gabarito comentado)

1. Backup em nuvem e tabela logarítmica

Analistas registraram backups de 2, 4, 8 e 16 GB ao longo das semanas. Os tempos de restauração correspondentes foram 10, 13, 16 e 19 minutos. Qual tabela representa uma função logarítmica?

• ❌ A) A primeira tabela, semana e tamanho do backup. Está errada porque o tamanho dobra a cada semana: isso caracteriza crescimento exponencial.
• ✅ B) A segunda tabela, tamanho do backup e tempo de restauração. Está correta: a cada duplicação do tamanho, o tempo aumenta 3 minutos, padrão compatível com logaritmo na base 2.
• ❌ C) Ambas representam funções logarítmicas. A primeira não é logarítmica, pois seus valores dobram.
• ❌ D) Nenhuma representa função logarítmica. A segunda mostra justamente acréscimo constante quando a entrada dobra.
• ❌ E) Ambas representam funções exponenciais. Apenas a primeira tem comportamento exponencial.

2. Datação por carbono-14

Na função N(t)=N0·(1/2)^(t/5730), mediu-se N(t)/N0 = 0,30. Qual é a idade aproximada do fragmento?

• ❌ A) Cerca de 4 200 anos. Subestima o tempo ao não resolver corretamente o decaimento exponencial.
• ✅ B) Cerca de 9 955 anos. Correta: t = 5730·log(0,30)/log(1/2), aproximadamente 9 955.
• ❌ C) Cerca de 8 200 anos. Usa a meia-vida de modo inadequado, sem aplicar o logaritmo.
• ❌ D) Cerca de 16 000 anos. Superestima a quantidade de meias-vidas.
• ❌ E) Cerca de 14 460 anos. Confunde 0,30 com 0,25, valor correspondente a duas meias-vidas.

3. Crescimento de algas

Para f(t)=3·2^t, define-se L(c)=log₂(c/3). Determine L(96).

• ❌ A) 4. Como 96/3 = 32, o resultado não é 4.
• ✅ B) 5. Correta: log₂(32)=5, pois 2⁵=32.
• ❌ C) 3. Confunde o valor pedido com um dia da tabela.
• ❌ D) 6. Calcula algo próximo de log₂(96), mas esquece de dividir por 3.
• ❌ E) 5,585. Esse valor decorre de um cálculo incorreto de log₂(32).

4. Composição de funções em tabelas

As tabelas informam f(1)=5, f(2)=25, f(3)=125 e g(5)=1, g(25)=2, g(125)=3. Qual é o valor de g(f(3))?

• ✅ A) 3. Correta: primeiro, f(3)=125; depois, g(125)=3.
• ❌ B) 25. É o valor de f(2), não da composição pedida.
• ❌ C) 125. Para aqui em f(3) e não aplica g.
• ❌ D) 5. Usa indevidamente o valor de f(1).
• ❌ E) 2. Confunde g(f(2)) com g(f(3)).

5. Colônia de besouros

Sabendo que t=log₂(P/500), determine o tempo necessário para a população atingir 32 000 indivíduos.

• ❌ A) 4. Esse tempo corresponde a 8 000 indivíduos.
• ❌ B) 5. Não atende à relação logarítmica apresentada.
• ✅ C) 6. Correta: 32 000/500=64 e log₂(64)=6.
• ❌ D) 7. Confunde a base ou acrescenta uma unidade indevidamente.
• ❌ E) 8. Produziria uma população bem maior que 32 000.

6. Índice de população celular

Uma cultura começa com 100 mil células e dobra a cada hora. O índice vale 0 para P=100 e aumenta uma unidade a cada duplicação. Qual expressão representa g(P), com P em milhares?

• ❌ A) g(P)=log₂(P)+100. Somar 100 não faz o índice valer zero em P=100.
• ✅ B) g(P)=log₂(P/100). Correta: a razão vale 1 no início e cada duplicação aumenta o logaritmo em uma unidade.
• ❌ C) g(P)=log₂(P/200). Fixa o zero em P=200, contrariando a tabela.
• ❌ D) g(P)=log₂(100/P). Inverte a razão e faria o índice diminuir quando a população dobra.
• ❌ E) g(P)=log₂(P/100)+1. Desloca a escala: para P=100, resultaria 1.

Próximos passos

Eu sugiro aplicar duas ou três questões como diagnóstico, retomar os erros mais frequentes em uma discussão coletiva e só então propor uma avaliação maior. Se quiser montar versões diferentes para as turmas, use o gerador de provas do GeraProva e filtre as atividades por habilidade.

Você não precisa preparar tudo do zero: faça seu cadastro grátis, explore as 60 questões do acervo alinhadas à EM13MAT403 e adapte a seleção à realidade da sua turma.