Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT503)

Quando recebi o código EM13MAT503 no planejamento do bimestre, confesso que pensei: mais uma habilidade longa para caber em poucas aulas. Ela fala em investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas, e o desafio é transformar essa frase em atividades que os alunos realmente entendam e resolvam.

Neste texto eu conto como costumo trabalhar essa habilidade, que tipo de questão funciona de verdade e onde os alunos mais tropeçam. No fim, você encontra seis questões com gabarito comentado, prontas para usar.

O que a habilidade EM13MAT503 pede, de verdade?

Em linguagem de sala de aula, a habilidade pede que o aluno saiba encontrar o ponto mais alto ou mais baixo de uma parábola e, principalmente, que entenda o que esse ponto significa no contexto. Não basta calcular o vértice: é preciso dizer se ele representa a maior receita, o maior lucro, a menor distância ou a altura máxima de um objeto lançado. A própria BNCC indica que isso deve ser feito com apoio de tecnologias digitais, como planilhas ou softwares de gráficos, o que ajuda a visualizar a curva e a conferir os cálculos.

O texto oficial da habilidade diz:

Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.

Na prática, isso significa três movimentos: modelar a situação com uma função quadrática, identificar se a parábola tem concavidade para cima (mínimo) ou para baixo (máximo), e calcular o vértice interpretando o resultado. Quando o aluno faz esse caminho sozinho, ele deixa de decorar a fórmula de x do vértice e passa a entender por que ela serve.

Como trabalhar EM13MAT503 em sala?

Algumas ideias que funcionam sem material caro:

• Preço de venda na lousa: proponha um problema de receita com um preço hipotético de camiseta do grêmio estudantil. Os alunos testam preços no quadro e percebem sozinhos que cobrar mais nem sempre rende mais.
• Lançamento de bola: filme um lançamento simples com o celular e peça que estimem a altura máxima. Depois, comparem com o vértice calculado.
• Planilha no celular ou no laboratório: cada dupla monta uma tabela de valores de x e y, cria o gráfico e localiza o máximo visualmente antes de calcular.
• Área de um cercado: com um barbante e quatro estacas, descubra qual retângulo de perímetro fixo tem a maior área. É uma das melhores introduções ao conceito de máximo.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão sobre EM13MAT503 precisa cobrar três coisas: a modelagem da situação, o cálculo do vértice e a interpretação do resultado. Questões que pedem só "calcule o vértice de y = x² − 4x + 3" avaliam técnica, mas não avaliam a habilidade inteira.

Os erros mais comuns que vejo nas provas são: confundir o valor de x que maximiza com o próprio valor máximo, esquecer o sinal do coeficiente quadrático, usar a fórmula sem dividir por 2a e, sobretudo, responder com o preço ou a quantidade sem voltar ao contexto. Vale dar peso à justificativa escrita, não só ao número final.

Questões prontas de EM13MAT503 (com gabarito comentado)

As questões abaixo cobrem receita, lucro e cinema, que são contextos do cotidiano dos alunos. Leia, resolva antes de olhar o gabarito e depois discuta as alternativas erradas com a turma, pois elas representam erros reais.

Questão 1: receita de bicicletas elétricas

Uma cooperativa brasileira que comercializa bicicletas elétricas realizou um levantamento para definir o preço de seus produtos. O estudo indicou que, para preços entre R$ 0 e R$ 600, a quantidade mensal vendida pode ser estimada pela função q(p) = 240 - 0,4p, em que p é o preço de uma bicicleta, em reais, e q(p) é a quantidade vendida. Como a receita é o produto entre o preço e a quantidade vendida, a receita mensal é dada por R(p) = p(240 - 0,4p).

Com base no modelo apresentado, qual deve ser a quantidade mensal de bicicletas elétricas vendidas para que a cooperativa obtenha a receita máxima?

• ❌ A) 240 bicicletas — Esse resultado usa apenas o termo constante da função de demanda, desconsiderando a redução nas vendas provocada pelo preço escolhido.
• ✅ B) 120 bicicletas — A receita pode ser escrita como R(p) = -0,4p² + 240p. Como essa função é quadrática e tem coeficiente negativo, sua receita máxima ocorre no vértice. O preço correspondente ao vértice é p = -240/[2(-0,4)] = 300. Substituindo esse preço na função de demanda, obtém-se q(300) = 240 - 0,4(300) = 120. Portanto, a quantidade que maximiza a receita é 120 bicicletas.
• ❌ C) 0 bicicletas — Esse resultado corresponde à quantidade indicada pela função quando o preço atinge o limite superior de R$ 600, situação em que a receita também é nula, mas que não representa o máximo da função.
• ❌ D) 180 bicicletas — Esse resultado decorre do cálculo incorreto do vértice, obtido ao dividir o coeficiente linear apenas pelo módulo do coeficiente quadrático, sem considerar o fator 2.
• ❌ E) 300 bicicletas — Esse resultado corresponde ao preço que maximiza a receita, e não à quantidade vendida nesse preço.

Questão 2: desconto na livraria

— Se reduzirmos demais o preço, o lucro pode cair, mesmo atraindo mais leitores — observou a gerente de uma livraria ao planejar uma campanha de inverno. Com base em dados de campanhas anteriores, a equipe estimou que o lucro diário L, em reais, em função do desconto d, também em reais, seria dado por L(d) = -4d^2 + 48d + 360. O modelo será usado apenas para descontos inteiros entre R$ 0,00 e R$ 12,00. A gerente pretende escolher um único valor de desconto para todos os livros participantes, buscando o maior lucro diário previsto pelo modelo.

Determine, a partir do modelo apresentado, o desconto que deve ser aplicado para que o lucro diário previsto seja máximo.

• ❌ A) Aplicar desconto de R$ 12,00. — Erro de usar 48/4, ignorando o fator 2 presente no cálculo da abscissa do vértice.
• ❌ B) Aplicar desconto de R$ 24,00. — Erro de dividir o coeficiente linear por 2, sem considerar o coeficiente do termo quadrático.
• ❌ C) Aplicar desconto de R$ 48,00. — Erro de interpretar o coeficiente linear como o valor do desconto que maximiza a função.
• ❌ D) Aplicar desconto de R$ 0,00. — Erro de desconsiderar a variação do lucro com o desconto e tomar um extremo do intervalo como máximo.
• ✅ E) Aplicar desconto de R$ 6,00. — Como o coeficiente de d^2 é negativo, há máximo no vértice: d = -48/(2 x -4) = 6.

Questão 3: preço de ingresso no cinema municipal

— Se reduzirmos o preço, venderemos mais ingressos, mas a arrecadação não crescerá necessariamente — observou a gestora de um cinema municipal durante o planejamento de uma mostra. A projeção de vendas indica que, cobrando R$ 10,00 por ingresso, serão vendidos 400 ingressos. Para cada aumento de R$ 1,00 no preço, a estimativa é de redução de 20 ingressos vendidos. Os preços serão definidos em valores inteiros de reais, e a gestão desconsiderará custos para comparar apenas a receita obtida com a bilheteria. Se n representar o número de aumentos de R$ 1,00 aplicados ao preço inicial, a quantidade prevista de ingressos será 400 - 20n.

Analise a relação entre preço e quantidade prevista no texto e determine o preço do ingresso que maximiza a receita da bilheteria.

• ❌ A) A cobrança de R$ 25,00 por ingresso. — Erro de maximização do preço: confunde maior preço unitário com maior receita total, ignorando a queda nas vendas.
• ✅ B) A cobrança de R$ 15,00 por ingresso. — A receita é R(n)=(10+n)(400-20n)=-20n^2+200n+4000. O vértice ocorre em n=5, resultando em preço de R$ 15,00.
• ❌ C) A cobrança de R$ 5,00 por ingresso. — Erro de sinal: considera uma redução de preço sem investigar o vértice da função receita, que ocorre para aumento positivo.
• ❌ D) A cobrança de R$ 10,00 por ingresso. — Erro de referência inicial: mantém o preço de partida e desconsidera que a receita pode crescer com alguns aumentos.
• ❌ E) A cobrança de R$ 20,00 por ingresso. — Erro de extrapolação: aumenta o preço além do vértice. Após n=5, a redução na quantidade vendida diminui a receita.

Questão 4: lucro mensal do cinema

Por que a escolha do preço de ingresso pode influenciar o equilíbrio financeiro de um cinema? Segundo levantamento interno, o gerente estimou que a demanda por ingressos segue a função D(p)=–10p+500, em que p é o preço em reais. Os custos fixos mensais somam R$2000. Com esses dados, o lucro mensal é dado por L(p)=p·D(p)–2000.

A partir das informações apresentadas, identifique o preço de ingresso que maximiza o lucro mensal do cinema.

• ✅ A) R$25 — Vértice da parábola L(p)=–10p^2+500p–2000 ocorre em p=–b/(2a)=–500/(2·–10)=25 reais.
• ❌ B) R$27,50 — Inseriu sinal incorreto de a, obtendo vértice em –500/(2·10)=–25, depois ajustou para valor acima de 25.
• ❌ C) R$30 — Confunde preço de equilíbrio (quando D(p)=0) com preço de lucro máximo.
• ❌ D) R$20 — Considera apenas ponto médio da demanda, sem usar a fórmula do vértice da parábola.
• ❌ E) R$22,50 — Calculou b/(2a) como 500/(2·10)=25, mas utilizou coeficiente errado para a causando valor inferior.

Questão 5: diária de locadora de bicicletas

Por que empresas de aluguel de bicicletas ajustam o valor da diária? Dados ilustrativos mostram que o lucro diário P, em reais, de uma locadora depende do preço p cobrado pela diária, segundo o modelo P(p)= -20 p^2 + 1200 p - 10000, em que p varia de 10 a 50 reais. Este modelo quadrático reflete o efeito de preços mais altos na demanda e no ganho total.

Com base no texto-base, identifique o valor de p que maximiza o lucro diário da locadora.

• ❌ A) 40 reais — Valor de 40 está distante do vértice e proporciona lucro menor que em p=30.
• ❌ B) 20 reais — Valor de 20 gera P(20)= -20000+24000-10000= -6000, não o máximo.
• ✅ C) 30 reais — Vertice da parábola P(p)= -20p^2+1200p-10000 é p= -1200/(2·-20)=30, ponto de máximo do lucro.
• ❌ D) 15 reais — Vertice de a função quadrática ocorre em p= -b/(2a)= -1200/(2·-20)=30, não 15.
• ❌ E) 25 reais — Valor de 25 não corresponde ao vértice da parábola, logo não maximiza o lucro.

Questão 6: preço do curso online

— Para aumentar a receita, precisamos definir o preço ótimo do curso online, disse Luiza. A partir de pesquisas, a equipe estimou que, se x representa o número de matrículas mensais, o preço p em reais deve seguir p=800-2x. Como a receita R é R(x)=x·p, obtém-se R(x)=800x-2x^2. Com base nesses dados, determine o preço que maximiza a receita mensal.

Analise o texto e determine o preço, em reais, que maximiza a receita mensal.

• ❌ A) 450 — Representa valor acima do preço ótimo, ignorando o cálculo do vértice da função.
• ❌ B) 300 — Confunde metade do coeficiente linear (800/2=400) com outro valor sem considerar o coeficiente de x^2.
• ✅ C) 400 — O vértice de R(x)=-2x^2+800x ocorre em x=800/(2·2)=200, logo p=800-2·200=400 reais.
• ❌ D) 500 — Preço excessivo; não resulta na maximização de receita conforme o vértice da função quadrática.
• ❌ E) 350 — Não corresponde ao valor do preço obtido no vértice da parábola de receita.

Próximos passos

Se você quer aprofundar, consulte a consulta completa do código EM13MAT503, onde estão reunidas todas as questões alinhadas à habilidade. Para montar sua própria prova com esse conteúdo, use o o gerador de provas do GeraProva, e se ainda não tem conta, o cadastro grátis leva menos de um minuto.

Este conteúdo é um apoio para o seu planejamento e não substitui o seu julgamento pedagógico sobre a sua turma. Use, adapte e discuta as questões com seus alunos do jeito que fizer mais sentido na sua realidade.