Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT310)

Quando recebo um código da BNCC no planejamento, a primeira sensação é de que ele está longe da realidade da minha turma. Foi assim com a EM13MAT310. Aparentemente é só mais uma habilidade de contagem, mas, na prática, precisei transformá-la em aulas e em uma avaliação que os alunos conseguissem resolver sem decorar fórmulas.

Neste post eu conto como foi esse processo, o que a habilidade exige de verdade e seis questões reais, com gabarito comentado, que você pode usar direto na sua prova.

O que a habilidade EM13MAT310 pede, de verdade?

O texto oficial diz:

Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.

Traduzindo para a linguagem da sala de aula: o aluno precisa saber contar possibilidades sem listar tudo no braço. Isso significa identificar quando as escolhas são sequenciais (e aí multiplicamos) ou alternativas excludentes (e aí somamos), e perceber quando a ordem importa, como em uma fila de vagões, e quando não importa, como em uma comissão de três pessoas. A habilidade também pede que o aluno saiba elaborar um problema desse tipo, não apenas resolver o que está pronto no livro. Para isso, o diagrama de árvore é uma ferramenta de apoio muito útil, porque deixa visível a lógica da contagem antes da fórmula.

Como trabalhar EM13MAT310 em sala?

Trabalho com quatro ideias que não exigem material caro:

• Cardápio da lanchonete: pergunte quantos lanches diferentes são possíveis com 3 tipos de pão, 2 carnes e 4 molhos. Os alunos chegam ao princípio multiplicativo sozinhos.
• Diagrama no quadro: desenhe uma árvore para a escolha de camisa e calça antes de qualquer fórmula. Peça que eles façam o mesmo no caderno.
• Ordem importa ou não? Coloque dois problemas lado a lado, um de pódio (ordem importa) e outro de comissão (ordem não importa), e discuta a diferença com a turma.
• Elaboração em dupla: cada dupla cria um problema de contagem para outra dupla resolver. É aqui que a habilidade se consolida, porque quem elabora precisa entender a estrutura.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código precisa cobrar a escolha entre multiplicar e somar, a identificação de agrupamentos ordenáveis ou não, e a leitura de restrições do enunciado, como caminhos que não podem passar por um ponto ou cores que não podem se repetir em regiões vizinhas. Os erros que mais vejo em avaliações são: aplicar combinação onde a ordem importa, esquecer de somar casos disjuntos e não ler a restrição do enunciado. Por isso, nas questões abaixo, as alternativas erradas costumam ser justamente os resultados desses equívocos.

Questões prontas de EM13MAT310 (com gabarito comentado)

Questão 1: caminhos entre casas em um condomínio

ENEM - 2020 Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente. André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (?) ou para cima (?), segundo o esquema da figura. O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

• ❌ A) 4 — a quantidade de caminhos é maior que 4, pois há várias combinações possíveis de deslocamentos.
• ❌ B) 14 — 14 caminhos não consideram todas as combinações possíveis de movimentos para a casa de Bernardo.
• ✅ C) 17 — correta, pois há 17 caminhos possíveis para ir de A a B sem passar por C.
• ❌ D) 35 — 35 caminhos superestimam as combinações, considerando movimentos que não são permitidos.
• ❌ E) 48 — 48 caminhos é um número excessivo, não representando as combinações válidas de deslocamento.

Dica de resolução: calcule o total de caminhos possíveis e subtraia os que passam pela casa de Carlos. Esta é uma ótima questão para mostrar que a restrição do enunciado muda a resposta.

Questão 2: montagem de trens com vagões coloridos

ENEM - 2019 Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura. De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

• ❌ A) C412 x C312 x C312 x C212 — a expressão usa multiplicação em vez de adição para as combinações de cores.
• ❌ B) C412 + C38 + C35 + C22 — a expressão usa adição em vez de multiplicação para calcular as combinações de cores.
• ❌ C) C412 x 2 x C38 x C25 — a multiplicação não reflete corretamente a combinação das cores dos vagões.
• ❌ D) C412 + 2 + C312 + C312 — a expressão mistura adição e multiplicação de forma inadequada para as combinações.
• ✅ E) C412 x C38 x C35 x C22 — correta, pois utiliza a multiplicação correta das combinações de cores dos vagões.

Dica de resolução: use o princípio multiplicativo para combinar as escolhas de vagões por cor, escolhendo primeiro as posições de cada cor.

Questão 3: número de partidas em um torneio

ENEM - 2017 Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas?

• ❌ A) 64 — é o resultado de 8², não se aplica ao número de partidas em um torneio de eliminação.
• ❌ B) 56 — não é o número correto de partidas, pois não considera o formato de eliminação.
• ❌ C) 49 — é o quadrado de 7, não se relaciona com o número de partidas em um torneio de eliminação.
• ❌ D) 36 — não é o número correto, pois não reflete o formato de eliminação direta entre 8 jogadores.
• ✅ E) 28 — correta, calculada como C(8,2) = 28, representando as combinações de partidas.

Dica de resolução: calcule o número de partidas usando combinação de 8 jogadores, duas a duas.

Questão 4: escolha de formato de senhas

ENEM - 2017 As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes. A opção que mais se adequa às condições da empresa é

• ❌ A) I. — o número de senhas distintas é insuficiente para atender à demanda de clientes.
• ❌ B) II. — o número de senhas distintas é insuficiente para atender à demanda de clientes.
• ❌ C) III. — o número de senhas distintas é insuficiente para atender à demanda de clientes.
• ❌ D) IV. — o número de senhas distintas é insuficiente para atender à demanda de clientes.
• ✅ E) V. — correta, o número de senhas distintas é superior ao esperado e não ultrapassa o dobro, atendendo às condições.

Dica de resolução: calcule o número de senhas possíveis para cada opção de formato e compare com o número esperado de clientes.

Questão 5: colorir a logomarca com restrição de vizinhança

ENEM - 2017 O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?

• ❌ A) 15 — apenas 15 combinações não consideram todas as possibilidades de cores diferentes para regiões adjacentes.
• ❌ B) 30 — 30 combinações não são suficientes para abranger todas as variações possíveis com quatro cores.
• ❌ C) 108 — 108 combinações não levam em conta a restrição de cores diferentes para regiões vizinhas.
• ❌ D) 360 — 360 combinações ainda não consideram todas as permutações possíveis com as quatro cores e as restrições.
• ✅ E) 972 — correta, pois considera todas as permutações e as restrições de cores diferentes para regiões adjacentes.

Dica de resolução: use o princípio da contagem considerando as restrições de cores para regiões vizinhas, região por região.

Questão 6: configurações de notas em um desfile

ENEM - 2015 Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?

• ❌ A) 21 — a configuração de 21 não é suficiente para garantir a vitória da Escola II, pois não considera todas as combinações possíveis.
• ❌ B) 90 — 90 configurações não são suficientes, pois não abrangem todas as combinações que poderiam levar a Escola II à vitória.
• ✅ C) 750 — correta, são as combinações válidas que garantem a vitória da Escola II, considerando as notas atribuídas.
• ❌ D) 1 250 — superestima as combinações possíveis, não levando em conta as restrições do problema.
• ❌ E) 3 125 — é um número excessivo, não refletindo a realidade das combinações que garantiriam a vitória.

Dica de resolução: calcule as combinações possíveis que fazem a Escola II campeã, contando apenas as notas que alteram o resultado.

Fechamento: próximos passos

Se você quer aprofundar, a consulta completa do código EM13MAT310 reúne todas as questões alinhadas à habilidade. Eu começo sempre pelo diagrama de árvore e só depois passo para a fórmula, e isso faz diferença na turma. Para montar sua própria avaliação em poucos minutos, use o gerador de provas do GeraProva, e se ainda não tem conta, o cadastro grátis libera o acesso para testar.

Este conteúdo é um apoio para o seu planejamento. Revise as questões conforme o perfil da sua turma e a proposta da sua escola. O GeraProva existe para economizar seu tempo, não para substituir o seu olhar de professor.