Atividades sobre Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem com gabarito

Quando recebo o código EF07MA20 no planejamento do bimestre, a primeira reação é sempre a mesma: é um assunto que parece simples no quadro e vira confusão no caderno. Os alunos sabem que existe um sinal de menos envolvido, mas na hora de aplicar em três pontos ao mesmo tempo, muitos trocam x com y ou esquecem um dos eixos.

Então o desafio é transformar essa habilidade em aula e em avaliação que realmente mostrem o que o aluno entendeu. Foi isso que organizei aqui, com base no que costumo usar na sala do 7º ano.

O que a habilidade EF07MA20 pede, de verdade?

Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Na prática, o que a BNCC espera é que o aluno saiba localizar um polígono no plano cartesiano e encontrar sua imagem simétrica em três situações: refletido no eixo x, refletido no eixo y e refletido na origem. Cada uma tem uma regra de sinais própria. No eixo x, a coordenada y muda de sinal e x permanece. No eixo y, muda o sinal de x. Na origem, mudam os dois sinais. O objetivo não é decorar essas regras, e sim entender por que a figura do outro lado mantém a mesma forma e a mesma distância ao centro. Quando o aluno percebe que a figura apenas foi espelhada, a regra deixa de ser truque e passa a fazer sentido. Esse é o ponto que vale perseguir em todas as atividades desse código.

Como trabalhar EF07MA20 em sala?

Trabalho com quatro ideias simples, que não exigem material caro.

Primeiro, uso uma folha quadriculada grande desenhada no quadro ou em cartolina. Marco um triângulo com pontos de coordenadas inteiras e peço que os alunos copiem, depois reflitam no eixo x. Ver a figura se mover no papel ajuda muito mais do que ouvir a regra.

Segundo, faço uma atividade em duplas em que um aluno dita um ponto e o outro escreve o simétrico, primeiro em relação a um eixo e depois à origem. A troca de papéis evita que um fique só copiando.

Terceiro, uso o próprio pátio ou a sala como plano cartesiano, com fita crepe no chão. Um aluno fica na posição do ponto e outro precisa levar o colega até a posição espelhada. É uma aula que mexe o corpo e gera muita conversa.

Quarto, proponho uma comparação explícita: pedir que os alunos apontem o que muda entre a figura original e a figura refletida na origem, e o que muda quando refletem só no eixo y. Essa discussão costuma revelar os erros antes da prova.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código precisa cobrar aplicação da regra sobre mais de um ponto, e não apenas um. Se a questão pede o simétrico de um único vértice, o aluno pode acertar por sorte. Por isso prefiro triângulos e retângulos com três ou quatro vértices, em que um erro de sinal aparece na resposta.

Erros comuns que vejo na correção: trocar a coordenada x pela y, aplicar a reflexão só em um dos eixos quando a questão pede a origem, e esquecer de transformar todos os vértices. Também vale cobrar duas reflexões em sequência, pois isso revela se o aluno entende a composição das transformações.

Questões prontas de EF07MA20 (com gabarito comentado)

Abaixo estão seis questões reais do acervo do GeraProva alinhadas a esse código. Leia o enunciado, tente resolver e só depois confira o gabarito, que explica o erro de cada alternativa errada.

Questão 1: vértices de um triângulo de vigilância

Trecho de relatório: Uma equipe de vigilância de segurança define uma zona de monitoramento triangular no plano cartesiano para drones de patrulha. O triângulo ABC tem vértices A(2,3), B(5,1) e C(4,4). Para cobrir a área oposta ao ponto de origem, planeja-se o triângulo simétrico de ABC em relação à origem (0,0) antes de enviar as coordenadas aos drones.

Com base no texto-base, identifique as coordenadas dos vértices do triângulo simétrico ao triângulo ABC em relação à origem.

• ✅ A) (-2,-3), (-5,-1) e (-4,-4) — Refletir em relação à origem inverte sinal de ambas as coordenadas: (x,y)->(-x,-y).
• ❌ B) (-2,3), (-5,1) e (-4,4) — Reflete apenas o eixo x, não troca o sinal de y, erro ao aplicar simetria em relação à origem.
• ❌ C) (-2,3), (5,-1) e (-4,-4) — Aplicou troca de sinal de forma inconsistente para os vértices, indicação de cálculos parciais incorretos.
• ❌ D) (2,-3), (5,-1) e (4,-4) — Reflete apenas o eixo y, mantendo x positivo, mostra confusão entre eixos.
• ❌ E) (3,2), (1,5) e (4,4) — Inverteu x com y em vez de trocar sinais, confunde reflexão com transposição.

Questão 2: retângulo do mural da praça

Manchete fictícia: Simetria de murais encanta visitantes de praça urbana. Um coletivo de artistas instalou um retângulo pintado no muro lateral da praça, com vértices nos pontos A(2,1), B(5,1), C(5,3) e D(2,3) do plano cartesiano desenhado no piso. Para criar um efeito espelhado, outro retângulo idêntico foi representado em posição simétrica em relação à origem (0,0). Esse processo permitiu que os visitantes visualizassem o mural invertido ao cruzar o centro da praça.

Analise o texto-base e identifique as coordenadas dos vértices do retângulo simétrico em relação à origem.

• ✅ A) A'(-2,-1), B'(-5,-1), C'(-5,-3) e D'(-2,-3) — Aplicação de simetria em relação à origem troca sinais de ambas as coordenadas de cada vértice.
• ❌ B) A'(2,-1), B'(5,-1), C'(5,-3) e D'(2,-3) — Reflete apenas a coordenada y, erro de considerar só o eixo x.
• ❌ C) A'(1,2), B'(1,5), C'(3,5) e D'(3,2) — Inverte as coordenadas (coloca x em y), confundindo simetria com transposição de eixos.
• ❌ D) A'(-1,-2), B'(-1,-5), C'(-3,-5) e D'(-3,-2) — Troca a ordem dos valores em cada ponto antes de trocar os sinais, combinação de erros de reflexão e inversão.
• ❌ E) A'(-2,1), B'(-5,1), C'(-5,3) e D'(-2,3) — Reflete apenas a coordenada x, erro de considerar só o eixo y.

Questão 3: letreiro da biblioteca

— Para que o letreiro da biblioteca fique equilibrado, a parte desenhada à esquerda deve aparecer do outro lado como se a placa fosse dobrada ao meio — explicou a designer ao grupo responsável pela pintura.

No esboço, a linha de dobra coincide com o eixo y de um plano cartesiano. A metade já desenhada forma um triângulo com vértices P(-1, 2), Q(-4, 1) e R(-3, 5). Para concluir o letreiro, o grupo deverá marcar os vértices da outra metade mantendo cada ponto à mesma distância da linha central. A altura dos pontos em relação ao eixo x não deve mudar durante essa construção.

Com base no esboço descrito, determine as coordenadas dos vértices que o grupo deve marcar para completar o triângulo simétrico.

• ❌ A) Os vértices P'(-1, -2), Q'(-4, -1) e R'(-3, -5). — Erro de refletir no eixo x: foram alteradas as coordenadas y, mas a linha de dobra indicada é o eixo y.
• ✅ B) Os vértices P'(1, 2), Q'(4, 1) e R'(3, 5). — Na reflexão em relação ao eixo y, muda-se o sinal da coordenada x e conserva-se a coordenada y de cada vértice.
• ❌ C) Os vértices P'(2, 1), Q'(1, 4) e R'(5, 3). — Erro de trocar as coordenadas: houve inversão entre x e y, que não representa simetria em relação ao eixo y.
• ❌ D) Os vértices P'(-1, 2), Q'(-4, 1) e R'(-3, 5). — Erro de não realizar a reflexão: as coordenadas repetem o triângulo já desenhado à esquerda do eixo y.
• ❌ E) Os vértices P'(1, -2), Q'(4, -1) e R'(3, -5). — Erro de refletir na origem: foram trocados os sinais das duas coordenadas, em vez de somente os de x.

Questão 4: símbolo do mapa tátil da estação

Técnicos responsáveis pela sinalização de uma estação de metrô estão atualizando um mapa tátil para orientar passageiros. No centro do mapa, o encontro dos corredores foi definido como origem do plano cartesiano. Um símbolo triangular indica a localização de um ponto de apoio no lado esquerdo da estação, com vértices R(-5, 2), S(-2, 2) e T(-3, 5). Para manter a organização do mapa, será colocado um símbolo de mesmo formato no lado direito, em posição espelhada em relação ao eixo vertical. A distância de cada vértice ao eixo vertical deve ser preservada, assim como sua altura no mapa.

Identifique as coordenadas dos vértices do símbolo que será colocado no lado direito da estação.

• ❌ A) Os vértices devem ser R'(2, 5), S'(2, 2) e T'(5, 3). — Erro de troca de coordenadas: inverter as posições horizontal e vertical não representa reflexão em relação ao eixo vertical.
• ❌ B) Os vértices devem ser R'(5, -2), S'(2, -2) e T'(3, -5). — Erro de confusão entre eixos: foram alterados os sinais das duas coordenadas, como ocorreria na simetria em relação à origem.
• ❌ C) Os vértices devem ser R'(-5, 2), S'(-2, 2) e T'(-3, 5). — Erro de omissão da transformação: essas são as coordenadas do símbolo original, sem produzir sua imagem espelhada.
• ✅ D) Os vértices devem ser R'(5, 2), S'(2, 2) e T'(3, 5). — Na simetria em relação ao eixo vertical, muda-se o sinal da coordenada horizontal e mantém-se a coordenada vertical.
• ❌ E) Os vértices devem ser R'(-5, -2), S'(-2, -2) e T'(-3, -5). — Erro de identificação do eixo: apenas as coordenadas verticais deveriam mudar em uma reflexão no eixo horizontal.

Questão 5: marca do centro cultural

— O relevo do símbolo precisa orientar qualquer visitante sem favorecer um lado do mapa — explicou a designer responsável pelo mapa tátil de um centro cultural. Para criar uma marca equilibrada em torno do ponto central, indicado por (0, 0), ela registrou os vértices de uma parte do símbolo na seguinte ordem: P(-6, 4), Q(-3, 4), R(-3, 2) e S(-5, 1). A segunda parte será produzida no lado oposto do ponto central, mantendo o mesmo formato e as mesmas distâncias em relação a ele. Antes de enviar o arquivo para corte, a equipe precisa registrar as coordenadas correspondentes de P', Q', R' e S'.

Com base no registro do mapa tátil, determine o conjunto de vértices que deve ser criado para manter a simetria da marca em relação à origem.

• ❌ A) P'(6, 4), Q'(3, 4), R'(3, 2) e S'(5, 1). — Erro de confusão com a reflexão no eixo y: apenas os sinais das coordenadas x foram alterados.
• ✅ B) P'(6, -4), Q'(3, -4), R'(3, -2) e S'(5, -1). — Na simetria em relação à origem, mudam os sinais de x e de y em cada vértice, preservando o formato da marca.
• ❌ C) P'(-6, -4), Q'(-3, -4), R'(-3, -2) e S'(-5, -1). — Erro de confusão com a reflexão no eixo x: apenas os sinais das coordenadas y foram alterados.
• ❌ D) P'(6, -4), Q'(3, -4), R'(3, -2) e S'(-5, -1). — Erro de troca parcial de sinais: a coordenada x do vértice S deve ser positiva após a simetria na origem.
• ❌ E) P'(6, -4), Q'(3, -4), R'(3, -2) e S'(5, 1). — Erro de aplicação incompleta da regra: a coordenada y do vértice S também deve mudar de sinal.

Questão 6: sequência de espelhamentos no palco

— Se eu clicar em “Espelhar no eixo y” e depois em “Espelhar no eixo x”, o desenho vai parar no lado oposto do plano, mantendo as mesmas distâncias do ponto (0,0), explicou uma designer ao ajustar um padrão de luzes em um software de palco.

No arquivo, um triângulo é marcado no plano cartesiano pelos pontos A(-2, 3), B(4, 1) e C(1, -4). Para criar a versão simétrica desse triângulo, ela aplica exatamente essa sequência de comandos: primeiro o espelhamento em relação ao eixo y e, em seguida, o espelhamento em relação ao eixo x. O objetivo é obter um triângulo com o mesmo formato, mas reposicionado de acordo com essas reflexões.

Analise a sequência de espelhamentos descrita no texto e determine as coordenadas dos pontos A', B' e C' após as duas reflexões.

• ❌ A) A'(2, 3), B'(-4, 1), C'(-1, -4) — Erro de processo: considerou apenas o 1º comando (espelhamento no eixo y) e ignorou o espelhamento no eixo x.
• ❌ B) A'(3, -2), B'(1, -4), C'(-4, 1) — Erro de correspondência: trocou x por y (confundiu reflexão com permuta de coordenadas), alterando a figura.
• ✅ C) A'(2, -3), B'(-4, -1), C'(-1, 4) — Espelhar no eixo y troca o sinal de x; depois, espelhar no eixo x troca o sinal de y. Aplicando aos três pontos, obtém-se A', B' e C'.
• ❌ D) A'(-2, -3), B'(4, -1), C'(1, 4) — Erro de processo: considerou apenas o 2º comando (espelhamento no eixo x) aplicado ao triângulo original.
• ❌ E) A'(2, 3), B'(4, 1), C'(1, 4) — Erro de sinal: usou valores absolutos, tornando todas as coordenadas positivas, o que não representa as reflexões pedidas.

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As questões deste texto são exemplos de apoio ao seu planejamento. Revise sempre o conteúdo com o seu olhar de professor antes de aplicar na turma.