Atividades de sistemas de equações de 1º grau e plano cartesiano para a 2ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando ensino sistemas de equações de 1º grau na 2ª série, procuro aproximar as duas leituras que os alunos precisam articular: a algébrica, em que igualamos expressões e resolvemos as incógnitas, e a gráfica, em que observamos o ponto de encontro das retas. Em problemas de custo, quantidade ou volume, essa relação aparece com clareza: a solução representa valores que atendem simultaneamente às duas condições.

Na prática, não basta chegar a um par de números. Eu peço que a turma confira se ele satisfaz as duas equações e diga o que as coordenadas representam no contexto. A seleção a seguir oferece exercícios de comparação de funções e de interpretação de sistemas. Uma questão trabalha equação quadrática, conteúdo que não é um sistema de primeiro grau; deixo essa diferença explícita para que você decida se cabe como revisão ou se prefere substituí-la.

O que o aluno de 2ª série precisa saber sobre Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

O aluno precisa compreender que um sistema de equações do primeiro grau reúne duas ou mais condições sobre as mesmas incógnitas, e que sua solução deve satisfazer todas elas ao mesmo tempo. Na resolução algébrica, pode organizar as equações e usar substituição, adição ou comparação para encontrar os valores desconhecidos; depois, deve substituir o resultado nas equações originais para conferir. No plano cartesiano, cada equação linear pode ser representada por uma reta, e a solução de um sistema com uma única solução é o ponto de interseção: sua abscissa e sua ordenada formam o par ordenado procurado. Também é importante interpretar esse par no contexto, distinguindo o ponto em que duas quantidades se igualam dos intervalos em que uma delas é maior ou menor. Ao lidar com custos, por exemplo, o aluno compara taxas de variação e valores iniciais, sem confundir o ponto de igualdade com a escolha mais econômica antes ou depois dele.

Essa aprendizagem conecta procedimentos e interpretação. Uma resposta numérica sem significado contextual ainda não mostra por completo o que o sistema modela. Se as incógnitas são quantidades de objetos, os resultados precisam ser compatíveis com as condições e com a natureza da situação. Se são coordenadas de um ponto, ambas as regras devem produzir o mesmo valor de y para o x encontrado. Essa conferência simples ajuda a localizar erros de cálculo e de leitura.

O que ele precisa saber antes

Para acompanhar as atividades, vale retomar equações do primeiro grau, operações com números inteiros, multiplicação e adição, substituição de valores em expressões e leitura de gráficos cartesianos. A turma também precisa reconhecer uma função afim e interpretar seus coeficientes: o valor inicial e a variação por unidade. Nas questões com comparação entre custos, é necessário entender a igualdade e a desigualdade, além de observar para qual lado do ponto de interseção uma expressão fica menor.

Eu costumo fazer uma verificação breve antes da prova: apresento duas regras simples e peço que encontrem o valor para um mesmo x. Em seguida, proponho igualar as regras e conferir o resultado nas duas. Assim, identifico se a dificuldade está na manipulação algébrica, na leitura das coordenadas ou na interpretação da pergunta, sem transformar a retomada em uma aula longa de pré-requisitos.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas situações apresentadas é encontrar o ponto de igualdade, mas inverter a comparação depois dele. Saber que dois custos se igualam em determinada quantidade não basta: é preciso testar um valor de cada lado ou analisar os coeficientes para decidir qual opção custa menos. Outro tropeço é calcular a diferença correta, mas atribuí-la à opção errada; por isso, ajuda escrever os dois valores antes de subtrair.

Na leitura gráfica, pode ocorrer confusão entre um ponto que pertence a uma das retas e o ponto que pertence às duas. A solução exige simultaneidade. Também convém conferir as coordenadas na ordem correta: primeiro x, depois y. Em problemas com duas condições, alguns alunos aceitam uma composição porque ela atende à quantidade total, sem verificar a massa total. O sistema exige validar todas as informações, não apenas uma.

A primeira questão desta seleção pede raízes de uma função quadrática, não a resolução de um sistema de primeiro grau. Seu distrator mais provável decorre de fatorar incorretamente um trinômio: escolher fatores que somam o coeficiente de x sem conferir se o produto é o termo constante. Por ser uma habilidade distinta, eu a usaria somente como conexão ou revisão de equações quadráticas, sem apresentá-la como evidência direta de domínio de sistemas lineares.

Como trabalhar em sala

• Comece por uma igualdade concreta. Escreva duas regras de custo no quadro e pergunte quando produzem o mesmo resultado. A turma pode resolver algebricamente e, depois, verificar alguns valores antes e depois da resposta.
• Faça a ponte entre equação e gráfico. Com papel quadriculado ou eixos desenhados no caderno, peça que representem duas retas. Marquem a interseção e relacionem suas coordenadas à solução encontrada por cálculo.
• Peça uma verificação em duas etapas. Em problemas de quantidade e massa, os alunos devem testar o par nas duas condições. Essa rotina torna visível por que uma resposta que satisfaz apenas a soma das quantidades ainda pode estar errada.
• Use a comparação de alternativas. Depois de resolver uma questão, peça que expliquem por que um distrator parece plausível e qual verificação o elimina. Isso ajuda a diferenciar erro de conta, de sinal e de interpretação.
• Feche com uma interpretação em palavras. Além do par ordenado, solicite uma frase que diga o que cada coordenada representa e, quando houver comparação de custos, em qual faixa uma opção é mais econômica.

Questões prontas de Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano para a 2ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As questões abaixo vêm acompanhadas de alternativas e comentários. Há exercícios diretamente ligados a sistemas lineares e comparação de funções, além de uma questão quadrática sinalizada para você selecionar conforme o objetivo da avaliação. Nos itens que mencionam um gráfico sem apresentar a imagem, as informações algébricas e numéricas fornecidas no enunciado permitem acompanhar o raciocínio do gabarito.

1. Zeros de uma função quadrática

Uma cooperativa de energia solar utiliza um simulador para estimar o lucro diário L, em reais, obtido com x ajustes técnicos em um lote de painéis. Para esse lote, considerando os valores de x entre 0 e 6, o simulador representa a situação pela função quadrática L(x) = 1000x² - 6000x + 8000. Quando L(x) = 0, não há lucro nem prejuízo no dia. Em quais valores de x o lucro diário é nulo?

• ❌ A) x = 2 e x = 6. A fatoração correspondente não reproduz o termo constante 8: os números 2 e 6 têm produto 12.
• ❌ B) x = 3 e x = 4. Esses números também têm produto 12, não 8.
• ❌ C) x = 1 e x = 5. Embora somem 6, o produto é 5, não 8.
• ❌ D) x = 0 e x = 4. A fatoração x(x - 4) não equivale a x² - 6x + 8.
• ✅ E) x = 2 e x = 4. Igualando a zero e dividindo por 1000, fica x² - 6x + 8 = 0 = (x - 2)(x - 4). Portanto, as raízes são 2 e 4. É uma questão de função quadrática, não de sistema de primeiro grau.

2. Comparação de custos de fornecedores de água

Durante um período de estiagem, uma administradora comparou dois fornecedores. A ÁguaJá cobra R$ 36 para 0 m³, R$ 60 para 2 m³, R$ 84 para 4 m³, R$ 108 para 6 m³, R$ 132 para 8 m³ e R$ 156 para 10 m³. A concorrente cobra C_C(v) = 18v + 12. A partir de qual condição de volume a ÁguaJá passa a ser mais econômica?

• ❌ A) Abaixo de 4 m³; em 4 m³ os custos se igualam. A igualdade está certa, mas abaixo de 4 a ÁguaJá cobra mais: sua regra é C_A(v) = 12v + 36.
• ✅ B) Acima de 4 m³; em 4 m³, os custos se igualam. Igualando 12v + 36 = 18v + 12, obtemos v = 4. Para volumes maiores, a ÁguaJá fica mais barata.
• ❌ C) Acima de 4 m³; em 4 m³ a concorrente ainda é mais barata. Em 4 m³, ambas cobram R$ 84.
• ❌ D) Para qualquer volume positivo; em 0 m³ se igualam. Em zero, a ÁguaJá cobra R$ 36 e a concorrente R$ 12.
• ❌ E) Acima de 6 m³; em 6 m³ se igualam. A igualdade ocorre em 4 m³; em 6 m³ os preços são R$ 108 e R$ 120.

3. Custo de locadoras para oito diárias

Para contratar geradores para uma feira, uma equipe comparou duas locadoras. O gráfico da Alfa indica R$ 85 para 1 diária, R$ 135 para 3, R$ 185 para 5, R$ 235 para 7 e R$ 285 para 9. A Beta cobra B(d) = 40d + 15. Para 8 diárias, qual locadora oferece o menor custo e qual é a economia?

• ❌ A) Há empate. Comparar uma locadora consigo mesma não determina os custos das duas.
• ❌ B) Beta, economia de R$ 50. A variação entre pontos da Alfa não é a diferença entre os custos das locadoras em oito diárias.
• ❌ C) Alfa, economia de R$ 50. Usa a diferença de R$ 50 entre dois pontos do gráfico, em vez de calcular os dois custos para oito dias.
• ✅ D) Alfa, economia de R$ 75. A Alfa aumenta R$ 25 por diária e, para oito, custa R$ 260. A Beta custa 40 × 8 + 15 = R$ 335; a diferença é R$ 75.
• ❌ E) Beta, economia de R$ 75. A diferença foi calculada, mas a opção mais barata é a Alfa.

4. Comparação entre van e aplicativo

Uma cooperativa de vans registrou os pontos (1, 10), (3, 18), (5, 26), (7, 34) e (9, 42), em que as coordenadas representam distância em quilômetros e custo em reais. A regra é Cc(d) = 4d + 6. Um aplicativo cobra Ca(d) = 3d + 12. Em quais trajetos a van cobra menos?

• ✅ A) Somente nos trajetos com menos de 6 km. A diferença entre os custos é (4d + 6) - (3d + 12) = d - 6. Ela é negativa para d menor que 6; entre os pontos dados, isso ocorre em 1, 3 e 5 km.
• ❌ B) Somente acima de 6 km. Nessa faixa a diferença é positiva, então a van cobra mais.
• ❌ C) Somente em exatamente 6 km. Nesse ponto os custos são iguais, não menores para a van.
• ❌ D) Em distâncias iguais ou superiores a 6 km. Isso inclui a igualdade e os casos em que a van cobra mais.
• ❌ E) Em todos os trajetos. Para 7 e 9 km, o custo da van é superior ao do aplicativo.

5. Composição dos fardos pela quantidade e pela massa

Em uma atividade de planejamento, 24 fardos foram separados para transporte: alguns de alumínio, com 3 kg cada, e os demais de plástico, com 5 kg cada. A massa total registrada foi 104 kg. Um voluntário anotou que havia quantidades iguais dos dois tipos. Qual é a composição correta?

• ❌ A) 6 de alumínio e 18 de plástico. Soma 24, mas a massa é 6 × 3 + 18 × 5 = 108 kg.
• ✅ B) 8 de alumínio e 16 de plástico. A quantidade total é 24 e a massa é 8 × 3 + 16 × 5 = 104 kg. As duas condições são atendidas.
• ❌ C) 10 de alumínio e 14 de plástico. Embora totalize 24, a massa é 100 kg, não 104 kg.
• ❌ D) 14 de alumínio e 10 de plástico. A massa resultaria em 92 kg.
• ❌ E) 12 de cada tipo. A quantidade total está certa, mas a massa seria 96 kg; a anotação de quantidades iguais não bate com a balança.

Uma forma de montar o sistema é chamar de a e p as quantidades: a + p = 24 e 3a + 5p = 104. A resposta só é válida quando confere as duas equações.

6. Igualdade de custos de planos de celular

No celular, o gasto mensal do plano A aparece no gráfico. O plano B custa C = 6x - 4, com x em GB extras. De acordo com o gráfico, em quantos GB os custos se igualam?

• ❌ A) 2 GB. Esse valor não iguala os custos indicados.
• ❌ B) 3 GB. Ainda não satisfaz a igualdade entre as regras.
• ✅ C) 4 GB. O gráfico corresponde a 4x + 4 para o plano A. Igualando 4x + 4 = 6x - 4, temos 2x = 8 e x = 4.
• ❌ D) 5 GB. Esse valor ultrapassa a solução e não iguala as expressões.
• ❌ E) 6 GB. Também não satisfaz a igualdade entre os custos.

Vale pedir à turma que identifique tanto o x quanto o custo correspondente, mesmo que a pergunta solicite somente os gigabytes.

7. Ponto de interseção entre dois modelos de custo

O gráfico mostra os pontos do custo do modelo A para x unidades. O modelo B é C = x + 10. De acordo com o gráfico, em que ponto os custos se igualam?

• ✅ A) (4, 14). Os pontos do modelo A seguem y = 3x + 2. Igualando 3x + 2 = x + 10, obtemos x = 4 e y = 14.
• ❌ B) (3, 11). O ponto aparece no gráfico da reta A, mas não satisfaz a regra do modelo B: para x = 3, B vale 13.
• ❌ C) (5, 17). Está na reta A, mas, para x = 5, o modelo B vale 15.
• ❌ D) (4, 12). Para x = 4, as duas regras produzem 14, não 12.
• ❌ E) (6, 20). Para x = 6, A vale 20, mas B vale 16; não há igualdade.

Esse item é útil para enfatizar que a coordenada y precisa ser comum às duas funções no mesmo x.

8. Solução de um sistema sobre o volume de um reservatório

Um reservatório perde água e o volume do plano A aparece no gráfico. O plano B é V = x + 12. De acordo com o gráfico, qual é a solução do sistema?

• ❌ A) (4, 22). Esse par não satisfaz as duas expressões.
• ❌ B) (5, 20). Para x = 5, os volumes representados ainda são diferentes.
• ❌ C) (6, 16). A coordenada y não corresponde ao valor das duas funções nesse x.
• ✅ D) (6, 18). O plano A é representado por -2x + 30. Igualando -2x + 30 = x + 12, resulta 3x = 18, portanto x = 6 e V = 18.
• ❌ E) (8, 14). O par não resolve a igualdade entre as duas regras.

Depois da resolução, conferir V = 18 em cada expressão reforça o sentido de solução simultânea: as duas regras descrevem o mesmo volume no ponto de encontro.

Fechamento: da conta à interpretação

Ao planejar essa sequência, eu alternaria o cálculo algébrico com a leitura de gráficos e a conferência contextual. As questões de fornecedores, locadoras, planos e reservatório permitem observar estratégias diferentes; a situação dos fardos destaca a necessidade de respeitar mais de uma condição. A questão quadrática pode servir como revisão separada, mas não deve ser confundida com o objetivo de sistemas do primeiro grau.

Para ampliar o trabalho por habilidade, consulte também as questões da habilidade EM13MAT302, as questões da habilidade EM13MAT101, as questões da habilidade EM13MAT404 e as questões da habilidade EM13MAT301. Você pode adaptar as questões e organizar uma avaliação no gerador de provas do GeraProva; para começar, faça seu cadastro grátis.

Use este material como ponto de partida: ajuste enunciados e níveis de apoio ao que sua turma já estudou. O GeraProva pode ajudar a montar provas e atividades, mas a revisão final e as escolhas pedagógicas continuam sendo suas.