Atividades de Funções: representações numérica, algébrica e gráfica para o ENEM com gabarito

Quando trabalho funções para o ENEM, procuro aproximar três registros que às vezes aparecem separados nos exercícios: os valores em uma tabela ou situação descrita, a expressão algébrica e o comportamento mostrado em um gráfico. A leitura muda de uma representação para outra, mas a relação entre as variáveis precisa permanecer coerente. É aí que vale a pena pedir que a turma explique o que representa cada número, cada intervalo e cada variação.

Nas questões reunidas aqui, aparecem situações de crescimento constante, cobrança por faixas, juros, função exponencial e interpretação gráfica. Eu as uso para observar não só se a conta fecha, mas também se a expressão respeita o valor inicial e as condições do enunciado. A seguir, organizo os conhecimentos, os pontos de atenção e as oito questões com alternativas e gabarito comentado, para você adaptar à sua sequência de Matemática do ENEM.

O que o aluno de ENEM precisa saber sobre Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

Para resolver questões de funções no ENEM, o estudante precisa interpretar a relação entre duas grandezas e transitar entre enunciado, tabela, expressão algébrica e gráfico. Em uma função afim, deve identificar o valor inicial e a variação constante, observando quantos acréscimos ocorreram entre a posição inicial e a posição indicada. Em funções definidas por partes, é necessário reconhecer os intervalos e calcular cada trecho respeitando o que já foi acumulado nas faixas anteriores. A leitura gráfica também pede atenção aos eixos, aos valores representados e ao ponto em que uma regra muda. Já em situações exponenciais, é importante compreender a base, o valor inicial e o papel do expoente; quando se precisa recuperar o expoente, entra o logaritmo. Em problemas contextualizados, a resposta depende de traduzir corretamente as condições para a linguagem matemática e conferir se o resultado faz sentido no contexto.

Esse percurso conversa com habilidades de modelagem, análise de representações e resolução de situações envolvendo diferentes tipos de função. Para ampliar a seleção de itens, consulte também questões da habilidade EM13MAT507, questões da habilidade EM13MAT404, questões da habilidade EM13MAT303 e questões da habilidade EM13MAT403.

O que ele precisa saber antes

As questões pressupõem alguns conhecimentos que podem ser retomados rapidamente antes da atividade: reconhecer padrões aditivos e calcular diferenças entre termos consecutivos; substituir valores em expressões algébricas; operar com variáveis; compreender função afim e função constante; e interpretar uma função definida por sentenças. Nas situações de tarifa, também entram razão, desigualdade e cálculo por faixas. Para as questões de juros e crescimento, são úteis noções de juros simples e compostos, potenciação, progressão geométrica e propriedades básicas dos logaritmos.

Eu costumo verificar esses pontos com exemplos curtos no quadro, sem transformar a retomada em uma aula longa para toda a turma. Uma tabela com poucos valores pode mostrar se a variação é constante; uma substituição direta ajuda a conferir o termo inicial; e um exemplo de potência permite discutir o que significa encontrar o expoente. Quando percebo que a dificuldade é localizada, separo uma questão de apoio antes de passar ao conjunto completo.

Onde os alunos mais erram

Nas expressões de crescimento constante, um erro recorrente indicado pelas questões é multiplicar a taxa pelo número da posição, sem notar que no primeiro período ainda não aconteceu nenhum aumento. Por isso, expressões como 12 + 5n deslocam os valores em relação ao primeiro dia; escrever a variação como 5(n − 1) representa os aumentos ocorridos depois do valor inicial.

Nas tarifas por trechos, o risco é considerar apenas o preço da faixa atual e esquecer o custo acumulado nas faixas anteriores. A mesma atenção é necessária ao calcular uma média: a tarifa marginal de um trecho não é automaticamente igual à média do total consumido. Em gráficos, é preciso acompanhar os eixos, identificar qual grandeza cada valor representa e comparar corretamente os montantes. Nas situações exponenciais, a confusão costuma estar em retirar ou não o valor inicial, ou em trocar base e argumento ao usar logaritmos. Pedir que os estudantes confiram uma expressão substituindo um valor conhecido ajuda a localizar esses deslizes.

Como trabalhar em sala

• Faça a tradução entre registros: apresente uma tabela curta e peça à turma que escreva a expressão correspondente. Depois, proponha que indiquem como seria o gráfico, justificando o valor inicial e a variação.
• Compare duas fórmulas próximas: em um exemplo de aumento por período, coloque lado a lado uma expressão com n e outra com n − 1. A substituição do primeiro período mostra com clareza qual respeita o enunciado.
• Monte funções por faixas: use uma situação de tarifa e peça que os grupos calculem o custo de cada trecho separadamente. A conversa deve destacar o que se mantém acumulado quando o consumo entra em uma nova faixa.
• Leia gráficos com perguntas objetivas: peça para identificar o maior valor, comparar dois pontos e explicar o que acontece antes e depois de uma mudança de regra. Assim, a interpretação não fica reduzida a olhar a inclinação sem considerar os eixos.
• Feche com uma checagem de coerência: cada estudante substitui na expressão um valor já informado no enunciado. Em crescimento exponencial, vale conferir o instante inicial; em função por partes, um valor de cada intervalo.

Questões prontas de Funções: representações numérica, algébrica e gráfica para o ENEM (com gabarito comentado)

1. Obras catalogadas por dia

A cada dia, cadastramos mais obras no acervo digital, disse o bibliotecário responsável pela sistematização. No primeiro dia após o lançamento do novo módulo, foram catalogadas 12 obras. No segundo dia, registraram-se 17 obras, e no terceiro dia, 22 obras. Esse acréscimo diário manteve-se constante nos dias subsequentes, seguindo o mesmo ritmo até o décimo dia de operação. Determine a expressão que representa a função afim f(n), no domínio dos dias inteiros, que fornece o número de obras catalogadas no n-ésimo dia.

• ❌ A) f(n)=12+5(n-1). Esta é a expressão correta, pois parte de 12 e acrescenta 5 por dia.
• ❌ B) f(n)=12+3(n-1). O aumento observado entre os dias consecutivos é 5, não 3.
• ❌ C) f(n)=12+4(n-1). O valor inicial está certo, mas a diferença diária não é 4.
• ✅ D) f(n)=12+5n. Ao usar n, a fórmula soma cinco aumentos já no primeiro dia; deve contar n−1 aumentos.
• ❌ E) f(n)=22+5(n-1). Usa como valor inicial a quantidade do terceiro dia, não a do primeiro.

Gabarito comentado: A. A sequência cresce cinco obras a cada dia. Como no primeiro dia há 12 obras e, nesse instante, ainda não ocorreu um aumento, a expressão é 12 + 5(n − 1).

2. Funcionários em teletrabalho

Dados ilustrativos: um levantamento em empresas do setor de tecnologia acompanhou o número de funcionários em regime de teletrabalho ao longo dos meses. No primeiro mês, havia 120 funcionários trabalhando remotamente. A cada mês subsequente, esse número aumentou sempre em 8 funcionários, chegando a 128 no segundo mês e 136 no terceiro. Identifique a expressão que representa o número de funcionários em teletrabalho no n-ésimo mês.

• ❌ A) 120 + 8n. Para n=1, produz 128; o primeiro mês deve resultar em 120.
• ✅ B) 120 + 8(n − 1). Mantém 120 no primeiro mês e soma um aumento de 8 para cada mês seguinte.
• ❌ C) 112 + 8(n − 1). No primeiro mês resulta em 112, abaixo dos 120 informados.
• ❌ D) 120 + 9(n − 1). A taxa usada é 9, mas os dados mostram aumento de 8.
• ❌ E) 120n + 8. Multiplica o valor inicial pelo número do mês e não representa os valores da sequência.

Gabarito comentado: B. Do primeiro mês até o mês n ocorrem n−1 aumentos. Por isso, o número de funcionários é 120 + 8(n−1).

3. Tarifa telefônica e valor médio por minuto

Dados ilustrativos: uma operadora oferece um plano de telefonia fixa com cobrança de R$ 50 mensais que inclui até 100 minutos. Para os minutos entre 101 e 200, a tarifa adicional é de R$ 0,50 por minuto. Acima de 200 minutos, a tarifa cai para R$ 0,30 por minuto. Para qual intervalo de minutos a tarifa média de ligação fica abaixo de R$ 0,45 por minuto?

• ✅ A) A partir de 267 minutos. Acima de 200 minutos, a fatura é 100 + 0,30(n−200)=0,30n+40; a média fica abaixo de 0,45 quando n>266,67.
• ❌ B) Entre 200 e 267 minutos. Esse intervalo fica abaixo do limite necessário; nesse trecho a média ainda não está abaixo de 0,45.
• ❌ C) Maior que 200 minutos. A mudança para R$ 0,30 por minuto não elimina os valores acumulados dos trechos anteriores.
• ❌ D) Entre 100 e 200 minutos. Nesse intervalo há cobrança fixa e adicional de R$ 0,50 por minuto excedente, e a média não fica abaixo do limite.
• ❌ E) Maior que 250 minutos. Em 250 minutos, a fatura é R$ 115 e a média é R$ 0,46; portanto, esse limite é insuficiente.

Gabarito comentado: A. Para mais de 200 minutos, calcula-se a média dividindo 0,30n+40 por n. Resolver essa desigualdade leva a n maior que 266,67; considerando minutos inteiros, a partir de 267.

4. Comparação de propostas de aplicação

Um estudante comparou quatro propostas para aplicar R$ 5.000. O gráfico mostra o montante final em cada caso. Com base nos dados, qual proposta rende mais e em quanto ela supera a proposta de juros simples por 12 meses?

• ❌ A) Plano B, em R$ 58,30. O Plano B não é o maior montante indicado no gráfico.
• ❌ B) Plano C, em R$ 141,21. O Plano C corresponde à referência de juros simples por 12 meses, não à maior proposta.
• ✅ C) Plano D, em R$ 141,21. O maior montante é R$ 6.341,21; comparado a R$ 6.200,00, supera a referência em R$ 141,21.
• ❌ D) Plano D, em R$ 200,00. Identifica a proposta de maior montante, mas a diferença entre os valores é R$ 141,21.
• ❌ E) Plano B, em R$ 541,21. Esse valor não corresponde à diferença entre os montantes comparados no gráfico.

Gabarito comentado: C. A leitura correta identifica o Plano D como o maior montante: 6.341,21. Subtraindo 6.200,00, obtém-se uma diferença de R$ 141,21.

5. Conta de gás com cobrança progressiva

Em uma pequena cidade serrana, as contas de gás residencial seguem uma tarifa progressiva baseada no consumo mensal. Até 20 m³, o valor é R$ 1,50 por metro cúbico; para o consumo entre 20 e 50 m³, o valor é R$ 2,00 por metro cúbico; e para o consumo acima de 50 m³, o valor é R$ 3,00 por metro cúbico. Cada faixa é cobrada à sua respectiva tarifa. Identifique a expressão algébrica que define V(x), valor da conta em função do consumo x.

• ❌ A) V(x)={1,5x, se 0≤x≤20; 2,0(x−20), se 20<x≤50; 3,0(x−50), se x>50}. Não inclui o valor devido às faixas anteriores.
• ❌ B) V(x)={1,5x, se 0≤x≤20; 1,5·20+2,0x, se 20<x≤50; 1,5·20+2,0·30+3,0x, se x>50}. Cobra a tarifa da nova faixa sobre todo o consumo, em vez de apenas sobre o excedente.
• ✅ C) V(x)={1,5x, se 0≤x≤20; 1,5·20+2,0(x−20), se 20<x≤50; 1,5·20+2,0·30+3,0(x−50), se x>50}. Mantém o custo acumulado e aplica cada preço ao consumo da faixa correspondente.
• ❌ D) V(x)={1,5x, se x<20; 2,0x, se 20≤x≤50; 3,0x, se x>50}. Trata a tarifa como preço único para todo o consumo de cada intervalo.
• ❌ E) V(x)={1,5x, se 0≤x<20; 2,0x, se 20≤x≤50; 3,0x, se x≥50}. Também ignora o acúmulo das faixas e altera os limites sem representar a cobrança descrita.

Gabarito comentado: C. A conta soma o custo integral das faixas anteriores e cobra a tarifa atual somente sobre a parte do consumo que excede o limite anterior.

6. Saldo de poupança e logaritmo

Uma simulação de poupança sem novos depósitos começa com R$ 250,00, multiplicados por 1,08 a cada mês. O saldo após m meses é B=250·(1,08)^m. A tabela apresenta m=0, 6, 12 e 18, com saldos de R$ 250,00, R$ 396,72, R$ 629,54 e R$ 999,00. Qual expressão permite determinar m a partir de um saldo conhecido B?

• ✅ A) m=log_1,08(B/250). Dividindo por 250, fica (1,08)^m=B/250; o logaritmo isola o expoente.
• ❌ B) m=log₂₅₀(B/1,08). Usa o saldo inicial como base, embora a base da potência mensal seja 1,08.
• ❌ C) m=log_1,08(B). Omite a divisão pelo saldo inicial 250.
• ❌ D) m=log_1,08(250/B). Inverte a razão e não recupera o expoente para saldo superior ao inicial.
• ❌ E) m=log_(B/250)(1,08). Troca a base e o argumento do logaritmo.

Gabarito comentado: A. Primeiro, divide-se a equação por 250. Em seguida, usa-se logaritmo na base 1,08 para determinar o expoente m.

7. Auxílio semanal de manutenção

Em uma simulação fictícia, motoristas recebem R$ 120,00 quando percorrem de 0 a 80 km na semana. Acima de 80 km, mantém-se esse valor inicial e acrescentam-se R$ 0,85 por quilômetro excedente. Qual descrição do gráfico de R em função de x confirma que não há redução do auxílio ao superar 80 km?

• ❌ A) Segmento horizontal em R$ 120 até 80 km, ligado a uma semirreta de inclinação 0,85 que parte de (80,0). Reinicia o valor em zero, em vez de manter o auxílio inicial.
• ❌ B) Segmento horizontal em R$ 120 até 80 km, ligado a uma semirreta de inclinação −0,85 a partir de (80,120). A inclinação negativa representa diminuição, não acréscimo.
• ✅ C) Segmento horizontal em R$ 120 até 80 km, ligado a uma semirreta de inclinação 0,85 que parte de (80,120). A regra mantém o valor e acrescenta auxílio depois de 80 km.
• ❌ D) Segmento de inclinação 1,50 até (80,120), ligado a uma semirreta horizontal em R$ 120. Inverte as condições: o valor inicial é fixo até 80 km.
• ❌ E) Segmento de inclinação 0,85 desde (0,120), ligado a uma semirreta horizontal em R$ 188. Aplica a taxa desde o início, embora ela incida apenas sobre a distância excedente.

Gabarito comentado: C. Até 80 km, o gráfico é horizontal no valor de R$ 120. Depois, cresce com inclinação 0,85 a partir do ponto (80,120), sem salto para baixo.

8. Compartilhamentos e expressão logarítmica

Em uma simulação, a métrica N soma 12 compartilhamentos já existentes aos novos compartilhamentos da campanha. Os registros são: h=0, N=30; h=1, N=66; h=2, N=174; h=3, N=498. A cada hora, a quantidade de novos compartilhamentos é triplicada. Qual expressão permite obter h a partir de N?

• ❌ A) h=log₃(N/18). Não retira os 12 compartilhamentos fixos antes de calcular a parte da campanha.
• ❌ B) h=log₃((N−18)/12). Troca os papéis: 12 é o valor fixo somado, enquanto 18 é o número inicial de novos compartilhamentos.
• ❌ C) h=18 log₃(N−12). Multiplica pelo valor inicial em vez de dividir por ele antes de aplicar o logaritmo.
• ❌ D) h=log₁₈((N−12)/3). Usa 18 como base, mas a razão de crescimento é 3.
• ✅ E) h=log₃((N−12)/18). Subtrai a parcela fixa e divide pelo valor inicial variável; assim, (N−12)/18=3^h.

Gabarito comentado: E. A relação dos novos compartilhamentos é 18·3^h. Retirando os 12 iniciais e dividindo por 18, obtém-se 3^h; o logaritmo na base 3 fornece h.

Próximos passos

Você pode aplicar as questões como diagnóstico, lista de revisão ou atividade de comparação entre registros, escolhendo a ordem conforme o ponto da sequência didática. Depois da correção, peça que a turma explique uma alternativa incorreta e mostre onde o raciocínio se afasta do enunciado. Para montar uma avaliação com itens selecionados e ajustar a prática ao seu planejamento, experimente o gerador de provas do GeraProva e faça seu cadastro grátis.

As questões e comentários são um ponto de partida: adapte a seleção e o nível de apoio às necessidades da sua turma. Explore o GeraProva para criar e organizar atividades de Matemática com mais praticidade.