Uma quadra de vôlei tem formato retangular, com 18 m de comprimento e 9 m de largura. A diagonal do retângulo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma quadra de vôlei tem formato retangular, com 18 m de comprimento e 9 m de largura. A diagonal do retângulo é um segmento cuja medida pode ser investigada por meio das dimensões dos lados. As regras oficiais do esporte estabelecem essas medidas para a quadra de jogo. FÉDÉRATION INTERNATIONALE DE VOLLEYBALL. Official Volleyball Rules 2021-2024. Lausanne: FIVB, 2021 (adaptado). Em uma comparação entre os lados e a diagonal da quadra descrita, qual conclusão identifica corretamente o comprimento da diagonal?
- A) A diagonal mede 9 vezes a raiz quadrada de 5 metros e tem comprimento irracional.
- B) A diagonal mede 9 vezes a raiz quadrada de 5 metros e tem comprimento racional.
- C) A diagonal mede 27 metros e tem comprimento racional, por resultar da soma dos lados.
- D) A diagonal mede 18 vezes a raiz quadrada de 2 metros e tem comprimento irracional.
- E) A diagonal mede 9 vezes a raiz quadrada de 3 metros e tem comprimento irracional.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A diagonal forma, com os lados de 18 m e 9 m, um triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, d^2 = 18^2 + 9^2 = 324 + 81 = 405.
- Portanto, d = raiz de 405 = 9 vezes raiz de 5 metros. Como raiz de 5 é irracional, a diagonal também é irracional. Assim, a alternativa A está correta.
- B apresenta a medida certa, mas classifica incorretamente o comprimento como racional. C soma os lados, embora a diagonal seja calculada pelo teorema de Pitágoras. D usa medidas que não resultam da soma dos quadrados dos lados. E também aplica uma expressão incompatível com as dimensões dadas.
💡 Dica: Aplique Pitágoras aos lados de 18 m e 9 m e simplifique a raiz.
Alternativa por alternativa
Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal d satisfaz d² = 18² + 9² = 405. Assim, d = raiz quadrada de 405 = 9 vezes a raiz quadrada de 5 metros. Como a raiz quadrada de 5 é irracional, a medida da diagonal também é irracional.
O aluno calcula corretamente a medida da diagonal, mas considera racional um número que contém raiz quadrada de 5, que é irracional.
O aluno soma os comprimentos dos lados para obter a diagonal, confundindo-a com um percurso formado por dois lados do retângulo.
Por que engana: Somar os lados para obter a diagonal ou classificar a raiz sem simplificá-la.
O aluno reconhece que a diagonal envolve uma raiz, mas usa uma expressão que não corresponde ao cálculo com lados de 18 m e 9 m.
O aluno identifica corretamente que a medida seria irracional, mas obtém 9 vezes raiz de 3 em vez de aplicar corretamente o teorema de Pitágoras às dimensões dadas.
Raio-X da questão
Diagonal de retângulo com medida irracional
fixacao
Teorema de Pitágoras · Simplificação de radicais
Números racionais e irracionais
Somar os lados para obter a diagonal ou classificar a raiz sem simplificá-la.
cotidiano
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