Arquimedes foi um matemático, cientista e engenheiro que viveu na antiga cidade de Siracusa. Em um de seus…

Questão

Arquimedes foi um matemático, cientista e engenheiro que viveu na antiga cidade de Siracusa. Em um de seus nove tratados sobre a flutuação dos corpos, Arquimedes estabelece os fundamentos da hidrostática. De acordo com a lenda, é atribuída a Arquimedes a solução do problema posto por Hieron II de Siracusa, o de determinar se uma coroa confeccionada por um artesão era feita de ouro maciço ou possuía outro metal menos nobre em sua composição. É provável que Arquimedes tenha-se utilizado de uma balança hidrostática para resolver o problema da coroa, ao invés da versão popular da água transbordando na banheira. O problema em questão consiste em uma joia, confeccionada em ouro, que possui massa de 36 g quando medida no ar, ao passo que, quando imersa em água, cuja densidade é de 1g/cm³, possui massa aparente de 34 g. Suponha que outro metal menos nobre, prata, por exemplo, tenha sido misturado ao ouro na confecção da joia. Adotando para efeito de cálculo que a densidade do ouro e da prata valem, respectivamente, 20g/cm³ e 10g/cm³, a razão entre a massa de prata e a massa de ouro presentes na joia é de (UECE 2023)

1. A) 1/8.
2. B) 1/3.
3. C) 1/4.
4. D) 1/16.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados. Massa total da joia no ar: 36 g. Massa aparente na água: 34 g. Densidade da água: 1 g/cm³. Densidade do ouro: 20 g/cm³. Densidade da prata: 10 g/cm³. Sejam mO a massa de ouro e mP a massa de prata, com mO + mP = 36.
2. Calcule o volume total da joia pelo empuxo. A perda de massa aparente é 36 - 34 = 2 g. Pelo princípio de Arquimedes, essa perda equivale ao peso da água deslocada, ou seja, o volume da joia é V = 2 g / 1 g/cm³ = 2 cm³.
3. Escreva a equação do volume. O volume do ouro é mO/20 e o da prata é mP/10, então mO/20 + mP/10 = 2.
4. Resolva o sistema. Substituindo mP = 36 - mO, temos mO/20 + (36 - mO)/10 = 2. Multiplicando por 20: mO + 72 - 2mO = 40, logo mO = 32 g e mP = 4 g.
5. Calcule a razão pedida. Razão entre prata e ouro: mP/mO = 4/32 = 1/8. Portanto a alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas. A alternativa B (1/3) não surge de nenhum passo correto do cálculo. A alternativa C (1/4) corresponde à razão entre os volumes de prata e ouro, e não à razão entre as massas. A alternativa D (1/16) resulta de uma relação de densidades elevada ao quadrado, sem fundamento na situação.

💡 Dica: Use o princípio de Arquimedes para relacionar as massas e volumes e calcule a razão entre as massas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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